Открыть главное меню
Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера (в правом верхнем углу), эксцентриситет — 0,6.

Уравне́ние Ке́плера описывает движение тела по эллиптической орбите в задаче двух тел и имеет вид:

где  — эксцентрическая аномалия,  — эксцентриситет орбиты, а  — средняя аномалия.

Впервые это уравнение было получено астрономом Иоганном Кеплером в 1619 году. Играет значительную роль в небесной механике.

Содержание

Варианты уравнения КеплераПравить

Уравнение Кеплера в классической форме описывает движение только по эллиптическим орбитам, то есть при  . Движение по гиперболическим орбитам   подчиняется гиперболическому уравнению Кеплера, сходному по форме с классическим. Движение по прямой линии   описывается радиальным уравнением Кеплера. Наконец, для описания движения по параболической орбите   используют уравнение Баркера. При   орбит не существует.

Задача, приводящая к уравнению КеплераПравить

Рассмотрим движение тела по орбите в поле другого тела. Найдем зависимость положения тела на орбите от времени. Из II закона Кеплера следует, что

 .

Здесь   — расстояние от тела до гравитирующего центра,   — истинная аномалия — угол между направлениями на перицентр орбиты и на тело,   — произведение постоянной тяготения на массу гравитирующего тела,   — большая полуось орбиты. Отсюда можно получить зависимость времени движения по орбите от истинной аномалии:

 .

Здесь   — время прохождения через перицентр.

Дальнейшее решение задачи зависит от типа орбиты, по которой движется тело.

Эллиптическая орбитаПравить

Уравнение эллипса в полярных координатах имеет вид

 

Тогда уравнение для времени приобретает вид

 

Для того, чтобы взять интеграл вводят следующую подстановку:

 

Величина E называется эксцентрической аномалией. Благодаря такой подстановке интеграл легко берется. Получается следующее уравнение:

 

Величина   является средней угловой скоростью движения тела по орбите. В небесной механике для этой величины используется термин среднее движение. Произведение среднего движения на время называется средней аномалией M. Эта величина представляет собой угол, на которой повернулся бы радиус-вектор тела, если бы оно двигалось по круговой орбите с радиусом, равным большой полуоси орбиты тела.

Таким образом получаем уравнение Кеплера для эллиптического движения:

 

Гиперболическая орбитаПравить

Уравнение гиперболы в полярных координатах имеет тот же вид, что и уравнение эллипса. Значит, интеграл получается такой же по виду. Однако, использовать эксцентрическую аномалию в данном случае нельзя. Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы:  ,  . Тогда уравнение для гиперболы принимает вид

 ,

а связь между   и  

 .

Благодаря такой подстановке интеграл приобретает ту же форму, что и в случае с эллиптической орбитой. После произведения преобразований получаем гиперболическое уравнение Кеплера:

 

Величина   называется гиперболической эксцентрической аномалией. Поскольку  , то последнее уравнение можно преобразовать следующим образом:

 .

Отсюда видно, что  .

Параболическая орбитаПравить

Уравнение параболы в полярных координатах имеет вид

 

где   — расстояние до перицентра. Второй закон Кеплера для случая движения по параболической траектории

 

Откуда получаем интеграл, определяющий время движения

 

Вводим универсальную тригонометрическую замену

 

и преобразуем интеграл

 

получаем окончательно

 

Последнее соотношение известно в небесной механике как уравнение Баркера.

Радиальная орбитаПравить

Радиальной называется орбита, представляющая собой прямую линию, проходящую через притягивающий центр. В этом случае вектор скорости направлен вдоль траектории и трансверсальная составляющая отсутствует[1], значит

 

Связь между положением тела на орбите и временем найдем из энергетических соображений

 

 

— интеграл энергии. Отсюда имеем дифференциальное уравнение

 

Разделяя переменные в этом уравнении, приходим к интегралу

 

способ вычисления которого определяется знаком константы  . Выделяют три случая


  •   прямолинейно-эллиптическая орбита

Соответствует случаю, когда полная механическая энергия тела отрицательна, и удалившись на некоторое максимальное расстояние от притягивающего центра, оно начнет двигаться в обратную сторону. Это аналогично движению по эллиптической орбите. Для вычисления интеграла введем замену

 

вычисляем интеграл

 

Полагая  , запишем результат

 

приняв в качестве (недостижимого в реальности) условного перицентра  , и направление начальной скорости от притягивающего центра, получим так называемое радиальное уравнение Кеплера, связывающее расстояние от притягивающего центра со временем движения

 

где  .


  •   прямолинейно-параболическая орбита

Запущенное радиально тело удалится на бесконечность от притягивающего центра, имея на бесконечности скорость равную нулю. Соответствует случаю движения с параболической скоростью. Самый простой случай, ибо не требует замены в интеграле

 

Принимая начальные условия первого случая, получаем явный закон движения

 


  •   прямолинейно-гиперболическая орбита

Соответствует уходу от притягивающего центра на бесконечность. На бесконечности тело будет иметь скорость,  . Вводим замену

 

и вычисляем интеграл

 

Полагая  , получаем

 

Полагая начальные условия аналогичными первому случаю, имеем гиперболическое радиальное уравнение Кеплера

 

где  

Решение уравнения КеплераПравить

Решение уравнения Кеплера в эллиптическом и гиперболическом случаях существует и единственно при любых вещественных M[2]. Для круговой орбиты (e = 0) уравнение Кеплера принимает тривиальный вид М = E. В общем виде Уравнение Кеплера трансцендентное. Оно не решается в алгебраических функциях. Однако, его решение можно найти различными способами с помощью сходящихся рядов. Общее решение уравнения Кеплера можно записать с помощью рядов Фурье:

 ,

где

 

функция Бесселя.

Этот ряд сходится, когда величина ε не превышает значения предела Лапласа.

Приближённые методыПравить

Среди численных методов решения уравнения Кеплера часто используются метод неподвижной точки («метод простой итерации») и метод Ньютона[3]. Для эллиптического случая в методе неподвижной точки за начальное значение E0 можно взять M, а последовательные приближения имеют следующий вид[2]:

 

В гиперболическом случае метод неподвижной точки подобным образом использовать нельзя, однако этот метод даёт возможность вывести для такого случая другую формулу приближений (с гиперболическим арксинусом)[2]:

 

ПримечанияПравить

  1. Лукьянов, Ширмин, 2009, с. 70—71.
  2. 1 2 3 Балк М. Б. Решение уравнения Кеплера // Элементы динамики космического полета. — М.: Наука, 1965. — С. 111—118. — 340 с. — (Механика космического полета).
  3. Балк М. Б., Демин В.Г., Куницын А.Л. Решение уравнения Кеплера // Сборник задач по небесной механике и космодинамике. — М.: Наука, 1972. — С. 63. — 336 с.


ЛитератураПравить

  • Д. Е. Охоцимский, Ю. Г. Сихарулидзе. Основы механики космического полета.. — Москва: «Наука», 1990.
  • В. Е. Жаров. Сферическая астрономия. — Фрязино, 2006. — С. 480. — ISBN ISBN 5-85099-168-9.
  • Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.
  • Лукьянов Л.Г., Ширмин Г. И. Лекции по небесной механике. — Алматы, 2009. — С. 276.