Открыть главное меню

Уравнение Ландау — Лифшица (магнетизм)

Уравне́ние Ланда́у — Ли́фшица — уравнение, описывающее движение намагниченности в приближении континуальной модели в твердых телах. Впервые введено Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем в 1935 году.

ФормулировкаПравить

Для бездиссипативной среды и в отсутствие спин-поляризированного тока уравнение Ландау — Лифшица обычно записывается в виде

 

где   — плотность магнитного момента (намагниченность),   — некоторая феноменологическая постоянная,   — так называемое эффективное магнитное поле.

Уравнение в основном используется для ферро- и ферримагнетиков. В общем случае постоянная   не совпадает с гиромагнитным отношением и в рамках феноменологической теории должна рассматриваться как величина, определяемая из эксперимента. Их отличие обусловлено вкладом орбитальных моментов. Поэтому при условии, что магнитные ионы находятся в  -состоянии (то есть орбитальные моменты отсутствуют),   можно считать равным гиромагнитному отношению с большой степенью точности[1]. Это выполняется для CdCr2Se4, железо-иттриевого граната Y3Fe5O12, пермаллоя Fe20+xNi80-x и большинства др. ферро- и ферримагнитных материалов.

Эффективное магнитное поле определяется как вариационная производная свободной энергии по магнитному моменту[2]

 

В случае, когда рассматривается магнетик вдали от температуры Кюри или при нулевой температуре, то свободная энергия   равна внутренней  .

В формулировке (1) сохраняется длина вектора намагниченности. Это легко показать, домножив обе части (1) скалярно на  , что даст

 

Этот факт дает основание говорить о прецессии намагниченности.

Строгий вывод уравнения движения намагниченности в континуальном приближении невозможен[3], поэтому часто постулируется возможность формального перехода от уравнения движения оператора спина  

 

к уравнению (1) путём замены   и разложения поля намагниченности   вблизи точки   в ряд Тейлора[4]. Тут   — коммутатор,   — гамильтониан,   — оператор спина для n-го узла решетки, а   — его радиус-вектор,   — постоянная решетки,   — магнетон Бора.

МодификацииПравить

Учет диссипации, влияния температуры или спин-поляризированных токов требует модификации исходного уравнения (1), которая обычно сводится к появлению дополнительных слагаемых в правой части (1). Релаксационные члены могут иметь различную размерность и различное число параметров. Но для приближенного описания процессов в ферромагнетиках при небольшой диссипации может использоваться уравнение в любой из нижеприведенных форм[5]. Каждое из них можно преобразовать одно к другому.

Релаксационный член в форме Ландау — ЛифшицаПравить

Ландау и Лифшиц предложили[6] следующую модификацию:

 

где   — параметр диссипации. Иногда за параметр диссипации принимают величину  .

Уравнение Ландау — Лифшица — ГильбертаПравить

Часто используется релаксационный член в форме Гильберта:

 

где   — параметр диссипации. Формальный переход между уравнениями (5) и (6) можно совершить заменой

 

В связи с отрицательным значением гиромагнитного отношения встречаются определения параметров релаксации с противоположными знаками в (5) и (6)[7].

Уравнение Блоха — БломергенаПравить

Примером уравнения с диссипацией, допускающего изменение длины вектора намагниченности может служить модифицированное уравнение Блоха или уравнение Блоха — Бломергена:

 

где   — так называемая статическая восприимчивость, определяемая как отношение намагниченности насыщения к абсолютной величине эффективного поля, а   — частота релаксации.

Влияние спин-поляризированного токаПравить

Спин-поляризированный ток обычно описывают дополнительным слагаемым в правой части (1) вида  . Один из подходов к его конкретизации[8] состоит в разложении вектора   по осям, направленным вдоль  ,   и  . Тут   — единичный вектор вдоль намагниченности опорного слоя. В предположении, что длина вектора намагниченности не меняется, первая проекция будет равна нулю, а две другие

 

где коэффциценты   и   пропорциональны плотности тока, зависящие от параметров поляризирующей структуры и угла между   и  .

Другие формы записиПравить

Для аналитического анализа, чаще всего уравнение Ландау — Лифшица записывается в угловых переменных сферической системы координат   и  . В таком случае вектор намагничености можно представить как

 

где   — намагниченность насыщения. Чтобы перейти в (6) к угловым переменным, домножим уравнение на вариацию намагниченности  , выразив в угловых переменных проекцию левой части на ось аппликат. Далее, записав вариации энергии и намагниченности через вариации углов получим

 

Получение уравнений в угловых переменных содержащих дополнительные члены проделывается аналогично. Так для записи в форме Ландау — Лифшица — Гильберта имеем

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., — ISBN 5-02-014366-9 на стр. 17.
  2. Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
  3. Подробнее, этот вопрос был рассмотрен, например, в Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г. Пелетминский С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с. на стр. 44 и Herring C., Kittel C, On the theory of spin waves in ferromagnetic media. — Phys. Rev., 1951, 81 N. 5, p. 869—880.
  4. В этом случае обычно ограничиваются членами второго порядка малости, так как в случае, когда каждый узел решетки является её центром симметрии, содержащее первую производную по координате слагаемое обращается в нуль.
  5. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с., — ISBN 5-02-014366-9 на стр. 27.
  6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел // Ландау Л. Д. Собрание трудов в 2 т. Под ред. Е. М. Лифшица. М.: Наука, 1969. Т. 1. С. 128
  7. Hubert, Alex. Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. — Springer, 1998. — P. 557. — ISBN 3540641084. на стр. 151.
  8. Звездин А. К., и др. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. [УФН, 178, с. 436–442 (2008) [1]

ЛитератураПравить

  • Ахиезер, А. И., Барьяхтар, В. Г. Пелетминский, С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с.
  • Гуревич, А. Г., Мелков, Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с.,  ISBN 5-02-014366-9.
  • Зависляк, И. В., Тычинский, А. В., Физические основы функциональной микроэлектроники. К.: УМК ВО, 1989, — 105. с.
  • Звездин, А. К, Звездин, К. А, Хвальковский, А. В. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. УФН, 178 436–442, (2008) https://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел. Phys. Zs. Sowjet., 1935, 8, С. 153-169.
  • Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
  • Gilbert, T. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. https://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
  • Hubert, Alex. Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. — Springer, 1998. — P. 557. — ISBN 3540641084.

СсылкиПравить