Уравнение Лейна — Эмдена

Уравнение Лейна — Эмдена в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для гравитационного потенциала ньютоновской самогравитирующей сферически-симметричной политропной жидкости. Уравнение носит название по фамилиям астрофизиков Джонатана Лейна и Роберта Эмдена.[1] Уравнение имеет вид

Решения уравнения Лейна—Эмдена при n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

где — безразмерный радиус, связано с плотностью и, следовательно, с давлением, соотношением для центральной плотности . Показатель является индексом политропы, упоминаемым в политропном уравнении состояния

где и — давление и плотность, — коэффициент пропорциональности. Стандартные начальные условия: и . Решения описывают зависимость давления и плотности от радиуса и представляют политропы с индексом . Если вместо политропного вещества рассматривается изотермическое, то уравнение называют уравнением Чандрасекара.

ПрименениеПравить

В физическом смысле гидростатическое равновесие связывает градиент потенциала, плотность и градиент давления, уравнение Пуассона связывает потенциал и плотность. Следовательно, если существует уравнение, связывающее изменение давления с изменением плотности, то можно получить решение данной задачи. Выбор политропного газа, рассматриваемого в задаче, обеспечивает краткое формулирование задачи и приводит к уравнению Лейна — Эмдена. Уравнение является важной аппроксимацией для параметров самогравитирующих шаров плазмы, таких как звёзды, но всё же это приближение налагает ограничения на модель.

Вывод уравненияПравить

Из условия гидростатического равновесияПравить

Рассмотрим самогравитирующее сферически-симметричное распределение жидкости в состоянии гидростатического равновесия. Масса сохраняется, вещество описывается уравнением неразрывности:

 

где   является функцией  . Уравнение гидростатического равновесия имеет вид

 

где   также является функцией  . Повторное дифференцирование приводит к выражению

 

где для замены градиента массы было применено уравнение непрерывности. Домножаем обе части равенства на   и переносим слагаемые с производными   в левой части:

 

Делим обе части на  , при этом получается в некотором смысле размерная форма требуемого уравнения. Если заменить политропное уравнение состояния на   и  ,то равенство примет вид

 

Выполним подстановку  , где

 

при этом получим уравнение Лейна — Эмдена,

 

Из уравнения ПуассонаПравить

Аналогично, можно начать вывод с уравнения Пуассона:

 

Можно заменить градиент потенциала с помощью уравнения гидростатического равновесия:

 

что снова даёт размерную форму искомого уравнения.

РешенияПравить

Для заданного значения индекса политропы   обозначим решение уравнения как  . В общем случае уравнение приходится решать численно для определения  . Существуют точные аналитические решения для определённых значений  , в частности для  . Для   между 0 и 5 решения непрерывны и конечны по протяжённости, радиус звезды задаётся выражением  , где  .

Для данного решения   профиль плотности задаётся выражением

 .

Полную массу   модельной звезды можно найти при интегрировании плотности по радиусу от 0 до  .

Давление можно определить при помощи политропного уравнения состояния  , то есть

 

Наконец, если газ является идеальным, то уравнение состояния имеет вид  , где   — постоянная Больцмана,   — средний молекулярный вес. Профиль температуры выглядит следующим образом:

 

Точные решенияПравить

В случае сферически-симметричного распределения вещества уравнение Лейна — Эмдена интегрируется только для трёх значений индекса политропы  .

n = 0Править

Если  , уравнение имеет вид

 

Перегруппируем слагаемые и проинтегрируем:

 

Поделим обе части на  , проинтегрируем:

 

Граничные условия   и   предполагают, что постоянные интегрирования равны   и  . Следовательно,

 

n = 1Править

Если  , уравнение можно представить в виде

 

Предположим, что решение можно представить в виде ряда

 

В таком случае получается рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения:

 

Данное соотношение можно решить, получив общее решение:

 

Граничное условие для физической политропы требует, чтобы   при  . Тогда  , что даёт решение в виде

 

n = 5Править

Рассмотрим уравнение Лейна — Эмдена:

 

Для   получим

 

Дифференцируем по ξ:

 

После упрощения получаем

 

Таким образом, уравнение имеет решение

 

при  . Данное решение финитно по массе, но бесконечно по радиусу, следовательно, данная политропа не имеет физического решения.

Численные решенияПравить

В общем случае решения находят методами численного интегрирования. Многие стандартные методы предполагают, что задача формулируется в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Например,

 
 

Здесь   представляет собой безразмерную массу, определяемую как  . Соответствующими начальными условиями являются   и  . Первое уравнение представляет собой уравнение гидростатического равновесия, второе — закон сохранения массы.

Гомологические переменныеПравить

Гомологически инвариантное уравнениеПравить

Известно, что если   является решением уравнения Лейна—Эмдена, то и   является решением.[2] Решения, связанные подобным образом, называются гомологичными, процесс перехода между ними — гомологией. Если переменные выбираются инвариантными по отношению к гомологии, томы можем уменьшить порядок уравнения на единицу.

Существует множество таких переменных. Одним из удобных вариантов является следующий:

 

и

 

После дифференцирования логарифмов данных переменных по   получим выражения

 

и

 .

Затем разделим переменные на два уравнения для устранения зависимости от  , после чего получим выражение

 

являющееся уравнением первого порядка.

Топология гомологически инвариантного уравненияПравить

Гомологически инвариантное уравнение можно рассматривать как автономную пару уравнений

 

и

 

Поведение решений данных уравнений можно определить при анализе линейной устойчивости. Критические точки уравнения (где  ) и собственные значения и векторы матрицы Якоби указаны в таблице ниже.[3]

 

ЛитератураПравить

Horedt, Georg P. Polytropes – Applications in Astrophysics and Related Fields (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004. — ISBN 978-1-4020-2350-7.

ПримечанияПравить

  1. Lane, Jonathan Homer  (англ.). On the Theoretical Temperature of the Sun under the Hypothesis of a Gaseous Mass Maintaining its Volume by its Internal Heat and Depending on the Laws of Gases Known to Terrestrial Experiment (англ.) // The American Journal of Science and Arts  (англ.) : journal. — 1870. — Vol. 2. — P. 57—74.
  2. Chandrasekhar, Subrahmanyan  (англ.). An introduction to the study of stellar structure (англ.). — Chicago, Ill.: University of Chicago Press, 1939.
  3. Horedt, Georg P. Topology of the Lane-Emden equation (англ.) // Astronomy and Astrophysics : journal. — 1987. — Vol. 117, no. 1—2. — P. 117—130. — Bibcode1987A&A...177..117H.

СсылкиПравить