Уравнение Орнштейна — Цернике

Уравнение Орнштейна — Цернике — интегральное уравнение статистической механики для определения прямой корреляционной функции. Оно описывает, как может быть рассчитана корреляция между двумя молекулами, точнее корреляция плотности между двумя точками. Применение в основном обнаруживается в теории жидкости.

Уравнение названо в честь Леонарда Орнштейна[en] и Фрица Цернике.

ВыводПравить

Можно получить уравнение Орнштейна-Цернике из следующих эвристических соображений. Удобно ввести полную корреляционную функцию:

 ,

которая является мерой для «воздействия» молекулы 1 на молекулу 2, расположенную на расстоянии   от первой, в системе с радиальной функцией распределения[en]  . В 1914 году Орнштейн и Цернике предложили разделить это влияние на два вклада: прямой и косвенный. Прямой вклад по определению задаётся прямой корреляционной функцией, обозначаемой  . Косвенный вклад связан с влиянием молекулы 1 на третью молекулу 3, которая, в свою очередь, влияет на молекулу 2, непосредственно. Такое опосредованное воздействие умножается на плотность и усредняется по всем возможным положениях координаты молекулы 3. Математически это можно записать в виде формулы

 ,

которая и называется уравнением Орнштейна — Цернике.

Точный вывод уравнения требует графического анализа и функциональных методов статистической физики.

ПрименениеПравить

Чтобы разрешить уравнение Орштейна — Цернике, в него добавляют еще одно приближённое уравнение, которое связывает   с  , полученное из модельных соображений. В результате получим одно интегральное или интегро-дифференциальное уравнение, из которого можно найти  . Самые распространённые приближения:

приближение Перкуса — Йевика[en]:

 

гиперцепное приближение[en]:

 

В рамках теории Орштейна — Цернике можно, не вдаваясь в детальный вид функции  , а предположив лишь, что она является короткодействующей, описать асимптотику поведения   при  :

 

с некоторым характерным параметром   (радиусом корреляции).

СсылкиПравить