Уравнение Хилла (Дж.Хилл, 1886[1]) — линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

где f(t) периодическая функция. Важными частными случаями уравнения Хилла являются уравнение Матьё и уравнение Мейснера.

Уравнение Хилла можно представить, как уравнение колебательной системы, где собственная частота колебаний меняется по периодическому закону f(t).

Уравнение Хилла очень важно для понимания устойчивости движения в осцилляторных системах. В зависимости от конкретной формы периодической функции f(t) решения могут иметь вид устойчивых квазипериодических колебаний, либо колебания будут раскачиваться с нарастающей экспоненциально амплитудой.

Применение

править

Уравнение Хилла позволяет также понять расщепление энергетических уровней электронов в периодическом поле кристаллической решётки.

В физике ускорителей уравнение Хилла описывает поперечную линейную динамику частиц в фокусирующих магнитных полях (бетатронные колебания).

В основе теории работы гиперболоидных масс-спектрометров также лежат варианты уравнения Хилла: уравнение Матьё и уравнение Мейснера (в зависимости от формы изменения во времени подаваемых на электроды потенциалов).

См. также

править

Параметрический осциллятор

Ссылки

править
  1. "On the Part of the Motion of Lunar Perigee Which is a Function of the Mean Motions of the Sun and Moon", Acta Math. 8: 1–36.