Открыть главное меню

Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости. До сих пор неизвестно, существует ли гладкое решение уравнения Эйлера в трёхмерном случае, начиная с заданного момента времени.[1]

Содержание

Классическое уравнение ЭйлераПравить

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

 

где   — поверхность выделенного объёма,   — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что  , где   — плотность жидкости в данной точке, получим:

 

В силу произвольности объёма   подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

 

Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:

 

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:

 

где

  •   — плотность жидкости,
  •   — давление в жидкости,
  •   — вектор скорости жидкости,
  •   — вектор напряжённости силового поля,
  •  оператор набла для трёхмерного пространства.

Частные случаиПравить

Стационарный одномерный потокПравить

Для случая стационарного одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид:

 

В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по   при постоянной плотности жидкости   получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:

 

Несжимаемая жидкостьПравить

Пусть  . Используя известную формулу

 

перепишем соотношение в форме

 

Беря ротор и учитывая, что

 

а частные производные коммутируют, получаем что

 

Адиабатическое течениеПравить

В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции   следующим образом:

  в силу того, что при адиабатическом процессе энтропия   постоянна.

Следовательно:

 

Используя известное соотношение:

 

и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера получим искомое представление в виде:

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить