Открыть главное меню

Уравнение =

(перенаправлено с «Уравнение xʸ=yˣ»)

Хотя операция возведения в степень не является коммутативной, равенство выполняется для некоторых пар например, [1]

ИсторияПравить

Уравнение   упомянуто в письме Бернулли к Гольдбаху (29 июня 1728[2]). В письме говорится, что при   пара   — единственное (с точностью до перестановки) решение в натуральных числах, хотя существует бесконечно много решений в рациональных числах[3][4]. В ответном письме Гольдбаха (31 января 1729[2]) содержится общее решение уравнения, полученное заменой  [3] Аналогичное решение дано Эйлером[4]. И. ван Хенгель (J. van Hengel) указал на то, что если   — положительные целые,   или   то   таким образом для решения уравнения в натуральных числах достаточно рассмотреть случаи   и  [4][5]

Задача неоднократно рассматривалась в математической литературе[3][4][2][6][7]. В 1960 году уравнение оказалось в числе заданий на олимпиаде имени Патнема[8], что подтолкнуло А. Хауснера к расширению результатов на алгебраические поля[3][9].

Решения в действительных числахПравить

Бесконечное множество тривиальных решений в положительных действительных числах находится как решения уравнения   Нетривиальные решения можно найти, положив     Тогда

 

Возведение обеих сторон в степень   с последующим делением на   даёт

 

Тогда нетривиальные решения в положительных действительных числах выражены как

 
 

Нетривиальное решение в натуральных числах   можно получить, положив   или  

Решение в терминах W-функции ЛамбертаПравить

Решение уравнения   возможно также выразить через неэлементарную W-функцию Ламберта   от переменной  :[10]

 , сделаем замену  :

 

Теперь переменную   можно выразить через W-функцию Ламберта:  

Окончательно решение будет выглядеть так:  

В частности, в виду неоднозначности данной функции, на промежутке   или   уравнение буде иметь два корня  .

Какой из параметров (  или  ), будет переменной, в сущности, не важно, формула останется такой же.

Если при переменной  (или  ) верно неравенство  (или  )< , то корней в действительных числах нет.

Решение в терминах суперкорня второй степениПравить

Уравнение   является частным случаем уравнения   при   и  . Подставив эти значения в общую формулу решения легко найти и решение исходного уравнения:[11]

 

Данное решение более полно, так как позволяет получить отрицательные действительные корни, если они существуют (потому что логарифм, в отличие от экспоненты в предыдущем решении, может быть меньше нуля). Существование третьего корня объясняется эквивалентностью уравнений   и   при чётном  , однако, на практике, существует только, максимум, два действительных корня (третий корень в формуле обязательно посторонний) из-за того, что функция суперкорня второй степени   есть обратная к вышеописанной функции   (иначе  ), которая выражается через W-функцию Ламберта, которая, в свою очередь, принимать более двух действительных значений не может[12].

Из данного решения вытекает тождественное равенство:  . Это легко доказать, приравняв оба вышеописанных решения друг к другу:

 , далее согласно свойствам логарифма и суперкорня второй степени:

 . Доказанное тождество является частным от более общего случая при  [11].

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Lajos Lóczi. On commutative and associative powers. KöMaL. Архивировано 15 октября 2002 года.
  2. 1 2 3 David Singmaster. Sources in recreational mathematics: an annotated bibliography. 8th preliminary edition. Архивировано 16 апреля 2004 года.
  3. 1 2 3 4 Marta Sved. On the Rational Solutions of xy = yx // Mathematics Magazine. — 1990.
  4. 1 2 3 4 Leonard Eugene Dickson. Rational solutions of xy = yx // History of the Theory of Numbers. — Washington, 1920. — Vol. II. — P. 687.
  5. Hengel, Johann van. Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt. — 1888.
  6. Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов, И. М. Яглом. 5. Решение уравнений в целых числах. Задача 168 // Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. — 5. — М.: Наука, 1976. — С. 35. — 384 с. — (Библиотека математического кружка). — 100 000 экз.
  7. Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А. Н. Колмогорова. — М.: Просвещение, 1986. — С. 33, 34, 160.
  8. The twenty-first William Lowell Putnam mathematical competition (December 3, 1960), afternoon session, problem 1 // The William Lowell Putnam mathematical competition problems and solutions: 1938-1964 / A. M. Gleason, R. E. Greenwood, L. M. Kelly. — MAA, 1980. — P. 59. — ISBN 0-88385-428-7.
  9. A. Hausner, Algebraic number fields and the Diophantine equation mn = nm, Amer. Math. Monthly 68 (1961), 856—861.
  10. W-функция Ламберта (рус.) // Википедия. — 2017-09-13.
  11. 1 2 Суперкорень (рус.) // Википедия. — 2018-06-22.
  12. А. Е. Дубинов, И. Д. Дубинова, С.К. Сайков. W-функция Ламберта и ее применение в математических задачах физики. — Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2006. — 160 с. — ISBN 5-9515-0065-6, ББК 22.311я 73, Д79.

СсылкиПравить

A073084 в OEIS: Десятичное разложение -x, где x — отрицательное решение уравнения 2^x = x^2