Открыть главное меню

Уравне́ния Гамильто́на (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике — система дифференциальных уравнений:

где точкой над и обозначена производная по времени. Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) для динамической системы, описываемой N (обобщёнными) координатами, являющихся уравнениями движения (одной из форм таких уравнений, наравне с уравнениями Лагранжа, являющейся обобщением ньютоновских уравнений движения) системы, где  — так называемая функция Гамильтона, также иногда именуемая гамильтонианом,  — время[1],  — (обобщенные) координаты , и  — обобщенные импульсы , определяющие состояние системы (точку фазового пространства).

Уравнения Гамильтона широко используются в гамильтоновой механике и других областях теоретической физики и математики.

Содержание

Ньютоновский физический смыслПравить

Наиболее простая интерпретация этих уравнений заключается в следующем. Гамильтониан   представляет в наиболее простых случаях энергию физической системы, которая есть сумма кинетической и потенциальной энергий, традиционно обозначаемых   и   соответственно:

 

В частном случае, если   — декартовы координаты каждой материальной точки системы, записанные подряд по три (физическое пространство будем подразумевать здесь обычным трёхмерным), то есть

 

то канонические уравнения Гамильтона совпадают, учитывая предыдущий абзац, с уравнениями движения Ньютона в виде:

 
 

где  , причем каждое подпространство дает радиус-вектор соответствующей материальной точки:

 

а обобщенные импульсы — соответствующие компоненты трехмерных импульсов этой точки:

 

Фундаментальная интерпретацияПравить

Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции)   через волновой вектор   для каждой точки пространства[2]:

 

В классическом приближении (при больших[3] частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от  ) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых ( ) интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие ( ) вполне естественно — как изменение, в частности поворот, волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определенного типа.

Вывод уравнений ГамильтонаПравить

Вывод из принципа стационарного действияПравить

Из принципа наименьшего (стационарного) действия уравнения гамильтона непосредственно получаются варьированием действия

 

независимо по   и по  .

Вывод из лагранжевой механикиПравить

Мы можем вывести уравнения Гамильтона используя информацию об изменении лагранжиана при изменении времени, координат и импульсов частиц.

 

обобщённые импульсы определяются как  , и уравнения Лагранжа гласят:

 

где   — непотенциальная обобщённая сила. Последнее выражение преобразуется к виду

 

и результат подставляется в вариацию лагранжиана

 

Можно записать:

 

и преобразуется к форме:

 

Множитель в левой части просто гамильтониан, который был определён раньше. Таким образом:

 

где второе равенство выполняется в силу определения частной производной.

Обобщение посредством скобок ПуассонаПравить

Уравнения могут быть записаны в более общем виде, если использовать алгебру Пуассона над образующими   и  . В этом случае, более общая форма уравнений Гамильтона гласит

 

где  , называемая классической наблюдаемой, — это некоторая функция переменных  ,   и  , и   — гамильтониан системы. Со скобками Пуассона можно работать без обращения к дифференциальным уравнениям, поскольку скобки Пуассона полностью аналогичны скобкам Ли в алгебре Пуассона.

Этот алгебраический подход позволяет использовать распределение вероятностей для   и  , он также позволяет найти сохраняющиеся величины (интегралы движения).

Уравнения Гамильтона являются одними из основных уравнений классической механики. В квантовой механике аналогом приведенного уравнения Гамильтона является уравнение Гейзенберга.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. От времени функция Гамильтона, вообще говоря, может зависеть явно, хотя во многих фундаментальных случаях такой зависимости как раз нет.
  2. Поскольку энергия и импульс и есть частота и волновой вектор, отличаясь от них лишь универсальным постоянным множителем, который может быть выбран и единичным в подходящей системе единиц.
  3. Поскольку в связь энергии и частоты, импульса и волнового вектора в обычных системах единиц входит константа Планка, которая в этих обычных системах единиц очень мала, то обычным для классической механики энергиям и импульсам соответствуют очень большие (в соизмерении с обычными для классической механики пространственными и временными масштабами) частоты и волновые векторы.

ЛитератураПравить