Уравнения Швингера

Уравне́ния Шви́нгера — система уравнений, связывающих функции Грина в квантовой теории поля. Предложена Джулианом Швингером в 1951 году.

Уравнения Швингера могут быть сформулированы в виде одного уравнения в вариационных производных:

$\left\{{\frac {{\overrightarrow {\delta }}S(\varphi )}{\delta \varphi (x)}}{\bigg |}_{\varphi =\chi {\frac {\overrightarrow {\delta }}{\delta iA}}}+A(x)\right\}G(A)=0,$

где $S(\varphi )$ — функционал действия, $G(A)$ — производящий функционал полных функций Грина. Аргумент функционала $A(x)$ есть классический объект той же природы, что и поле $\varphi$, то есть обычная функция для бозонов и антикоммутирующая функция для фермионов, ${\frac {\overrightarrow {\delta }}{\delta iA}}$ — левая вариационная производная, $\chi =+1$ в бозонном случае, $\chi =-1$ в фермионном случае.

Для теории с полиномиальным по полю действием данное уравнение является уравнением конечного порядка в вариационных производных. Оно определяет решение лишь с точностью до числового множителя — однозначно определяется производящий функционал функции Грина без вакуумных петель $H(A)=G_{0}^{-1}G(A)$, где $G_{0}$ — производящий функционал функций Грина свободной теории.

Сделав в уравнении подстановку $G(A)=e^{W(A)}$ и сократив после выполнения дифференцирования множитель $e^{W(A)}$, получим уравнение Швингера для производящего функционала $W(A)$ связных функций Грина $W_{n}$.

Представив $W(A)$ в виде ряда

$W(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {W_{n}(iA)^{n}}{n!}},$

и сравнивая коэффициенты при всех степенях $iA$, получим систему зацепляющихся уравнений для связных функций Грина $W_{n}$.

Уравнение Швингера в квантовой электродинамике

Для получения уравнений Швингера вводят классические источники внешних полей. Например, в квантовой электродинамике частиц со спином 1/2 в простейшем варианте достаточно ввести в лагранжиан взаимодействие квантованного поля фотонов $A^{\mu }(x)$ с источником внешнего электромагнитного поля $J_{\mu }(x)$ в минимальной форме — $J_{\mu }A^{\mu }$. За счёт этого возникает возможность путём функционального варьирования по классическому источнику $J_{\mu }(x)$ получать функции Грина с большим числом фотонных концов. Матрица рассеяния становится функционалом $S[J]$ источника. Удобно также ввести среднее наблюдаемое значение оператора фотонного поля (с учётом квантовых поправок):

${\mathcal {A^{\mu }}}(x)={\frac {1}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{A^{\mu }(x)S[J]\}\vert 0\rangle =i{\frac {\delta \ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)}},$

где $S_{0}[J]\equiv \langle 0\vert S[J]\vert 0\rangle ,\mu =0,1,2,3.$ $\langle 0\vert \cdots \vert 0\rangle$ — среднее значение операторов по состояниям вакуума в представлении взаимодействия, символ $T$ обозначает хронологическое упорядочение операторов, ${\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)}},$ — вариационная производная.

В итоге для двухточечной фермионной функции Грина

$G(x,y\vert J)=-{\frac {i}{S_{0}[J]}}\langle 0\vert T\{\psi (x){\overline {\psi }}(y)S[J]\}\vert 0\rangle ,$

где $\psi (x)$ — спинорный оператор фермионного (электрон-позитронного) поля, а черта над оператором означает дираковское сопряжение, имеем уравнение типа уравнения Дирака:

$\left\{\gamma _{\mu }\left[{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}-e{\mathcal {A^{\mu }}}(x)\right]-m-ie\gamma _{\mu }{\frac {\delta }{\delta J_{\mu }(x)}}\right\}G(x,y\vert J)=\delta ^{4}(x-y),$

где $\gamma _{\mu }$ — матрицы Дирака, $e,m$ — заряд и масса электрона. Для среднего значения оператора фотонного поля ${\mathcal {A^{\mu }}}(x)$ получаем уравнение типа уравнения Максвелла (второе слагаемое в правой части уравнения имеет смысл квантовых поправок к классическому току $J$):

$\Box {\mathcal {A^{\mu }}}(x)=-J_{\mu }(x)+ie\mathrm {Tr} [\gamma _{\mu }G(x,x\vert J)],$

где след берётся по спинорным индексам. Полученные уравнения, позволяющие по заданным источникам $J_{\mu }(x)$ определить $G(x,y\vert J)$ и ${\mathcal {A^{\mu }}}(x)$ , называются уравнениями Швингера.

Двухточечная фотонная функция Грина может быть найдена с помощью соотношения

$G^{\mu \nu }(x,y\vert J)=-{\frac {\delta A^{\mu }(x)}{\delta J^{\nu }(y)}}=-i{\frac {\delta ^{2}\ln S_{0}[J]}{\delta J_{\mu }(x)\delta J_{\nu }(y)}}.$

Величина $Z[J]\equiv i\ln S_{0}[J]$ называется производящим функционалом.

Трёхточечная вершинная часть определяется следующим образом:

$\Gamma _{\mu }(x,y,z)=-{\frac {\delta }{\delta A^{\mu }}}G^{-1}(x,y\vert J),$

где $G^{-1}$ — обратный оператор фермионной функции Грина. Уравнения Швингера тесно связаны с уравнениями Дайсона. Швингером было выведено также уравнение для четырёхточечной функции Грина двух частиц (фермионов). При отсутствии внешнего поля это уравнение эквивалентно уравнению Бете — Солпитера.

Литература

• Васильев А. Н. § 7.1.Уравнения Швингера // Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике,. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1976. — С. 72-74. — 295 с.
• Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Глава VI. Приложение общей теории устранения расходимостей // Введение в теорию квантованных полей,. — 4 изд.,. — М.: Наука, 1984. — Т. 4. — С. 389. — 600 с.
• Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровиков и др. — Советская энциклопедия, 1988. — ISBN 5-85270-034-7.