Открыть главное меню

Уравнение Эйлера — Лагранжа

(перенаправлено с «Уравнения Эйлера — Лагранжа»)

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом стационарности действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в ноль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

УтверждениеПравить

Пусть задан функционал

 

с подынтегральной функцией  , обладающей непрерывными первыми частными производными и называемой функцией Лагранжа или лагранжианом, где через   обозначена первая производная   по  . Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции  , то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

 

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

ПримерыПравить

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа. Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты   и  . Тогда длина пути  , соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

 

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

 

откуда получаем, что

 

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что  ,  , т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок, соединяющий точки.

Многомерные вариацииПравить

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

  • Если   — путь в  -мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу
 

только если удовлетворяет условию

   

В физических приложениях когда   является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; то есть если J — действие для этой системы), эти уравнения — суть (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечномерного q.

  • Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции   переменных. Если   — какая-либо, в данном случае n-мерная, поверхность, то
 

где   — независимые координаты,  ,  ,

доставляет экстремум если только   удовлетворяет уравнению в частных производных

 

Если   и   — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

  • Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.

В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной плёнки, приведённого в качестве примера в предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой плёнки (если, конечно, нам удалось изначально записать для неё действие, то есть кинетическую и потенциальную энергию).

ИсторияПравить

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин предложил Эйлер в 1766 году).

ДоказательствоПравить

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию  , которая удовлетворяет граничным условиям  ,   и доставляет экстремум функционалу

 

Предположим, что   имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если   даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение  , которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение   (если   минимизирует его) или уменьшать   (если   максимизирует).

Пусть   — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию  . Определим

 

где   — произвольный параметр.

Поскольку   даёт экстремум для  , то  , то есть

 

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

 

Используя граничные условия на  , получим

 

Отсюда, так как   — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

 

Если не вводить граничные условия на  , то также требуются условия трансверсальности:

 
 

Обобщение на случай с высшими производнымиПравить

Лагранжиан может также зависеть и от производных   порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

 

Если наложить граничные условия на   и на её производные до порядка   включительно, а также предположить, что   имеет непрерывные первые производные, то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера-Лагранжа и для этого случая:

 

Это уравнение часто называют уравнением Эйлера — Пуассона.

Два лагранжиана, отличающеся на полную производную, дадут одни и те же дифференциальные уравнения, однако максимальный порядок производных в этих лагранжианах может быть различный. Например,  . Чтобы получить дифференциальное уравнение на экстремум, к   достаточно применить «обычное» уравнение Эйлера — Лагранжа, а для  , поскольку он зависит от второй производной, нужно использовать уравнение Эйлера — Пуассона с соответствующим слагаемым:

 
 

и в обоих случаях получится одно и то же дифференциальное уравнение  .

Необходимое и достаточное условие существования и единственности уравнения Эйлера-ЛагранжаПравить

Необходимым и достаточным условием существования и единственности уравнения Эйлера-Лагранжа является  . Здесь   - лагранжиан,   - производная   - от обобщённой координаты по времени[1].

ПримечанияПравить

  1. Айзерман М. А. Классическая механика. - М., Наука, 1980. - с. 165

ЛитератураПравить

  • Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
  • Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
  • Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
  • Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.

СсылкиПравить