Усечённый додекаэдр

Усечённый додека́эдр[1][2][3]полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных десятиугольников.

Усечённый додекаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип архимедово тело
Свойства выпуклый, изогональный
Комбинаторика
Элементы
32 грани
90 рёбер
60 вершин
Χ = 2
Грани 20 треугольников
12 десятиугольников
Конфигурация вершины 3.102
Двойственный многогранник триакисикосаэдр
Классификация
Обозначения tD
Символ Шлефли t{5,3}
Группа симметрии Ih (икосаэдрическая)
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен

Усечённый додекаэдр имеет 90 рёбер равной длины. При 30 рёбрах (между двумя десятиугольными гранями) двугранные углы равны как в додекаэдре; при 60 рёбрах (между треугольной и десятиугольной гранями) как в икосододекаэдре.

Усечённый додекаэдр можно получить из обычного додекаэдра, «срезав» с того 20 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр додекаэдра и икосаэдра.

В координатахПравить

Усечённый додекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

  •  
  •  
  •  

где   — отношение золотого сечения.

Начало координат   будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристикиПравить

Если усечённый додекаэдр имеет ребро длины  , его площадь поверхности и объём выражаются как

 
 

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

 

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

 

Вписать в усечённый додекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого додекаэдра с ребром   (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

 

Расстояние от центра многогранника до любой треугольной грани превосходит   и равно

 

ПримечанияПравить

СсылкиПравить

ЛитератураПравить