Фазовое пространство

Фазовое пространство в математике и физике — пространство, каждая точка которого соответствует одному и только одному состоянию из множества всех возможных состояний системы. Точка пространства, соответствующая состоянию системы, называется «изображающей» или «представляющей» для него. Таким образом, изменению состояний системы, — то есть её динамике — можно сопоставить движение изображающей точки; траекторию этой точки называют фазовой траекторией (она не тождественна действительной траектории движения), а скорость такой изображающей точки называют фазовой скоростью.[A: 1][1]

Двумерное фазовое пространство динамической системы (её эволюция имеет вид расходящейся спирали)

Концепция фазового пространства была разработана в конце XIX века Людвигом Больцманом, Анри Пуанкаре и Уиллардом Гиббсом[A: 2].

Общие положения править

Как правило, выбирают пространства с евклидовой метрикой, используя либо декартову, либо полярную систему координат.

Для систем с одной степенью свободы фазовое пространство вырождается в фазовую плоскость.

Фазовые траектории править

При помощи уравнений траектории в фазовом пространстве (фазовой плоскости) для исследуемой системы строят интегральные кривые, — то есть кривые в фазовом пространстве такие, что в каждой их точке касательная имеет наклон, задаваемый уравнением траектории. Геометрическое построение интегральных кривых называют «качественным интегрированием уравнений».[2]

Понятия «интегральная кривая» и «фазовая траектория» в общем случае следует различать, «так как может случиться, что одна интегральная кривая состоит не из одной, а сразу из нескольких фазовых траекторий».[3]

Картину кривых в фазовом пространстве (на фазовой плоскости) можно описать:

  • либо одним уравнением — в координатной форме, то есть при помощи уравнений, которые не содержат времени, — и изучать с его помощью интегральные кривые,
  • либо описывать системой уравнений в параметрической форме, — где независимая переменная  , время, выполняет роль параметра — и изучать фазовые траектории.[4]

Необходимость различения этих двух способов изображения одного и того же семейства кривых[англ.] можно продемонстрировать на примере простейшей консервативной системы, описываемой уравнением  : в этом случае для особой точки условия теоремы Коши окажутся нарушенными при рассмотрении координатного уравнения, но будут выполнены для уравнения, записанного в параметрической форме.[4]

Целой фазовой траекторией называют ту кривую в фазовом пространстве, которую описывает изображающая точка за всё время своего движения (от   до  ).[3]

Фазовый портрет править

Фазовый портрет исследуемой системы — это совокупность фазовых траекторий для всевозможных начальных условий.[3] Его можно рассматривать как интегральное многообразие[англ.].[A: 3]

Поскольку при изучении поведения системы интересуются прежде всего стационарными движениями в системе,[2] то фазовый портрет можно также рассматривать как разбиение фазового пространства на области притяжения стационарных решений.[A: 1]

Классификацию характера особых точек системы уравнений можно провести на основании особенностей фазового портрета, поскольку как минимум для некоторых систем каждая особая точка системы дифференциальных уравнений является также и особой точкой в смысле, употребляемом в дифференциальной геометрии.[4]

Ф.п. обычно как-то деформируется при изменении параметров системы. Качественному изменению ф.п. соответствует исчезновение существующих и рождение новых стационарных решений, — и такое изменение ф.п. называют бифуркационной ситуацией.[A: 1]

Для удобства, изучение фазового портрета системы разделяют[4] на исследование характера движений системы:

  • вблизи состояний равновесия,
  • на всей фазовой плоскости.

При изучении фазового портрета интересует прежде всего общая топологическая картина движений на фазовой плоскости.[4]

Фазовая скорость править

Фазовая скорость — скорость изменения состояния системы; она соответствует скорости движения изображающей точки в фазовом пространстве.[4]

Для вычисления величины фазовой скорости вводят понятие «фазовый радиус-вектор», как это делается в классической механике.[3]

К примеру, для простейшей консервативной системы, описываемой уравнением  , скорость изображающей точки вычисляется как:

 

и будет всюду определена однозначно, и обращается в ноль только в особой точке.[4] Модуль фазовой скорости в этом случае будет вычисляться как:

 ,

где:

  и  .

Вычисление фазовой скоростью даёт возможность более точно прослеживать изменения в системе. Так, к примеру, в случае бифуркации седло—узел можно обнаружить область состояний системы, в которой происходит значительное уменьшение модуля фазовой скорости.[A: 1]

Особенности систем разного типа править

Механические системы править

В классической механике фазовыми пространствами служат гладкие многообразия. В случае механических систем это пространство чётной размерности, координатами в котором являются обычные пространственные координаты (или обобщённые координаты) частиц системы и их импульсы (или обобщённые импульсы). Кроме того, в механике движение изображающей точки определяется сравнительно простыми уравнениями Гамильтона, анализ которых позволяет делать заключения о поведении сложных механических систем.[5]

Например, фазовое пространство для системы, состоящей из одной свободной материальной точки, имеет 6 измерений, три из которых — это три обычные координаты, а ещё три — это компоненты импульса. Соответственно, фазовое пространство для системы из двух свободных материальных точек будет содержать 12 измерений и т. д.

Термодинамика и статистическая механика править

В термодинамике и статистической механике термин «фазовое пространство» имеет два значения: 1) он используется в том же смысле, что и в классической механике; 2) он может также относиться к пространству, которое параметризуется макроскопическими состояниями системы, такими как давление, температура и т. д.

Динамические системы править

В теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений фазовое пространство является более общим понятием.

Случай нескольких систем править

Если взять в рассмотрение несколько одинаковых систем, надо задать несколько точек в фазовом пространстве. Совокупность таких систем называют статистическим ансамблем.

Примеры править

Понятие фазового пространства широко используется в разных областях физики.[B: 1][B: 2] Весьма полезным оно оказалось для изучения феноменов бифуркационной памяти.[A: 1]

Гармонический осциллятор править

Простейшая автономная колебательная система получила название «гармонический осциллятор»; её динамика описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

 

Такая система совершает периодические синусоидальные (гармонические) движения; колебательное движение не возникает лишь в случае   и  , то есть когда осциллятор в начальный момент находится в состоянии равновесия — в этом случае он продолжает и дальше в нём оставаться. Координатное уравнение фазовой траектории такой системы задаёт интегральные кривые в виде семейства подобных (с постоянным соотношением осей) эллипсов, причём через каждую точку ф.п. проходит один и только один эллипс. Указанное состояние равновесия является особой точкой этой системы, — а именно центром.[3]

Квантовый осциллятор править

Фазовое пространство состояний квантового осциллятора позволяет описать квантовый шум усилителя в терминах неопределённостей эрмитовой и анти-эрмитовой компонент поля; при этом не требуется предположение о линейности преобразования фазового пространства, осуществляемого усилителем.[A: 4] Производные передаточной функции усилителя определяют ограничение снизу на уровень квантового шума. Грубо говоря, чем более сложным является преобразование, тем больше квантовый шум.

Фазовое пространство позволяет построить единый формализм для классической и квантовой механики.[A: 5] Оператор эволюции формулируется в терминах скобки Пуассона; в квантовом случае эта скобка является обычным коммутатором. При этом классическая и квантовая механика строятся на одних и тех же аксиомах; они формулируются в терминах, которые имеют смысл как в классической, так и в квантовой механике.

Теория хаоса править

Классическими примерами фазовых диаграмм из теории хаоса являются:

Оптика править

Фазовое пространство широко используется в неизображающей оптике[англ.],[B: 3] — ответвление оптики, посвящённое освещению и солнечным батареям. Это также важное понятие в гамильтоновой оптике[англ.].

См. также править

Примечания править

  1. Андронов, 1981, с. 38—41.
  2. 1 2 Андронов, 1981, Введение, с. 15—34.
  3. 1 2 3 4 5 Андронов, 1981, Глава I. линейные системы, с. 35—102.
  4. 1 2 3 4 5 6 7 Андронов, 1981, Глава II. Консервативные нелинейные системы, с. 103—167.
  5. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, Динамические системы — 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 3, ВИНИТИ, М., 1985, 5-290.

Литература править

  • Книги
  1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.
  2. Лихтенберг А. Динамика частиц в фазовом пространстве. — М.: Атомиздат, 1972. — 304 с.
  3. Julio Chaves. Introduction to Nonimaging Optics (англ.). — Second Edition. — CRC Press, 2015. — 786 p. — ISBN 978-1482206739. Архивировано 26 ноября 2023 года.
  • Статьи
  1. 1 2 3 4 5 Фейгин М.И. Проявление эффектов бифуркационной памяти в поведении динамической системы // Соросовский образовательный журнал : журнал. — 2001. — Т. 7, № 3. — С. 121—127. Архивировано 30 ноября 2007 года.
  2. Nolte, D. D. The tangled tale of phase space (англ.) // Physics Today : журнал. — 2010. — Vol. 63, no. 4. — P. 31–33. — doi:10.1063/1.3397041.
  3. Neishtadt, Anatoly. On stability loss delay for dynamical bifurcation (англ.) // Discrete and Continuous Dymanical Systems — Series S : журнал. — 2009. — Vol. 2, no. 4. — P. 897—909. — ISSN 1937-1632. — doi:10.3934/dcdss.2009.2.897.
  4. Кузнецов Д., Ройлих Д. Квантовый шум при отображении фазового пространства // Оптика и Спектроскопия : журнал. — 1997. — Т. 82, № 6. — С. 990—995.
  5. Широков Ю. М. Квантовая и классическая механика в представлении фазового пространства // ЭЧАЯ : журнал. — 1979. — Т. 10, № 1. — С. 5–50.

Ссылки править

  • Определения этого понятия см. также в словарях:
    • Большая советская энциклопедия.
    • Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
    • Физическая энциклопедия.
    • Экономико-математический словарь.
  • В интернет-портале «Физическая энциклопедия» см. статьи, уточняющие понятие ф.п. в статистической физике и ф.п. в теории динамических систем.
  • State space В Scholarpedia.org (англ.)