Открыть главное меню

Фактормножество

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности для заданного отношения эквивалентности на множестве , обозначается . Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его факторизацией.

Отображение из в множество классов эквивалентности называется факторотображением. Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие , либо не пересекаются, либо совпадают полностью. Для любого элемента однозначно определён некоторый класс из , иными словами существует сюръективное отображение из в . Класс, содержащий , иногда обозначают .

Если множество снабжено структурой, то часто отображение можно использовать, чтобы снабдить фактормножество той же структурой; например классы эквивалентности топологического пространства можно снабдить индуцированной топологией (факторпространство), классы эквивалентности алгебраической системы снабдить теми же операциями и отношениями (факторсистема).

Применения и примерыПравить

Если задано сюръективное отображение  , тогда на множестве   задаётся отношение  . Можно рассмотреть фактормножество  . Функция   задаёт естественное взаимно-однозначное соответствие между   и  .

Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного факторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.

Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.

Проективную плоскость   можно определить как факторпространство двумерной сферы, задав отношение эквивалентности  .

Бутылку Клейна можно представить как факторпространство цилиндра   по отношению эквивалентности   (  — угловая координата на окружности).

СвойстваПравить

Факторотображения q : XY описывается среди сюръективных отображений следующим свойством: если Z является каким-либо топологическим пространством и f : YZ является какой-либо функцией, то f является непрерывным тогда и только тогда, когда fq непрерывна.

Факторпространство X/~ вместе с факторотображением q : XX/~ описывается следующим универсальным свойством: если g : XZ является непрерывным отображением, таким что если из a ~ b следует g(a) = g(b) для всех a и b из X, то существует единственное отображение f : X/~ → Z, такое что g = fq. Мы говорим, что g спускается до факторотображения.

Непрерывные отображения, определённые на X/~ поэтому являются в точности такими отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определённых на X, которые удовлетворяют отношению эквивалентности (в смысле, что они переводят эквивалентные элементы в один и тот же образ). Этот критерий обширно используется при изучении факторпространств.

Если дана непрерывная сюръекция q : XY, полезно иметь критерий, по которому можно определить, является ли q факторотображением. Два достаточных критерия — q является открытым[en] или закрытым отображением[en]. Заметим, что эти условия являются лишь достаточными, но не достаточными. Легко построить примеры факторотображений, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп факторотображение является открытым.

Совместимость с другими топологическими понятиямиПравить