Факторсистема

Факторсистема в универсальной алгебре — объект, получаемый разбиением алгебраической системы на классы смежности отношением эквивалентности, стабильным по отношению к её основным операциям, и, соответственно, являющийся также алгебраической системой. Факторалгебра — факторсистема, получаемая над алгеброй (системой без отношений), фактормодель — факторсистема над моделью (системой без операций).

Факторсистема является обобщением алгебраических факторизаций: факторгруппа, факторкольцо, факторалгебра являются факторсистемами над группой, кольцом, алгеброй над полем соответственно.

ОпределениеПравить

Для алгебраической системы  ,  ,   и бинарного отношения  , являющегося конгруэнцией над  , то есть, стабильного относительно каждой из основных операций   — из вхождения в отношение некоторого набора   следует выполнение   — факторсистема строится как алгебраическая система  , с носителем   — фактормножеством над   относительно конгруэнции  , следующим набором операций:

 

и следующим набором отношений:

 ,

где   означает переход к классам смежности относительно конгруэнции  :

  для операций и
  для отношений

(класс смежности   — множество всех элементов, эквивалентных   относительно  :  ).

Таким образом, факторсистема   является однотипной с системой  . В определении принципиально, что стабильность факторизующего отношения требуется только для основных операций, но не для отношений системы: для операций стабильность необходима для однозначного перехода к классам смежности, тогда как переход к классам смежности для отношений вводится определением (существованием в каждом из классов смежности хотя бы по одному элементу, входящему в отношение).

СвойстваПравить

Естественное отображение  , ставящее в соответствие элементу его класс смежности относительно конгруэнции:  , является гомоморфизмом из   в факторсистему  [1][2].

Теорема о гомоморфзиме утверждает что для любого гомоморфизма   и его ядерной конгурэнции   естественное отображение   (то есть  ) является гомоморфизмом. Если гомоморфизм   является сильным, то есть для каждого предиката из   и любого набора элементов   из утверждения   вытекает существование таких прообразов  , что  , то   является изоморфизмом. Таким образом, совокупность всех факторсистем заданной системы с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью всех её сильно гомоморфных образов[3]. Для алгебр, не обладающих отношениями в сигнатуре, любой гомоморфизм является сильным, то есть набор факторалгебр заданной алгебры с точностью до изоморфизма совпадает с совокупностью её гомоморфных образов.

ПримечанияПравить

  1. Мальцев, 1970, с. 61-62.
  2. Гретцер, 2008, Lemma 2, p. 36.
  3. Мальцев, 1970, Теорема 1, с. 63—64.

ЛитератураПравить