Статистика Ферми — Дирака

(перенаправлено с «Ферми — Дирака распределение»)
Распределение Ферми — Дирака как функция от , построенная для 4 различных температур. С ростом температуры ступенька размывается.

Статистика Фе́рми — Дира́ка в статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу Паули: одно и то же квантовое состояние не может быть занято более чем одной частицей); определяет распределение вероятностей нахождения фермионов на энергетических уровнях системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.

Работы по статистике Ферми — Дирака были опубликованы в 1926 году и в 1927 эта статистика была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией есть

где

 — кратность вырождения состояния (число состояний с энергией ),
 — химический потенциал (при абсолютном нуле температуры равен энергии Ферми ),
 — постоянная Больцмана,
 — абсолютная температура.

В (идеальном) ферми-газе в пределе низких температур . В этом случае (полагая уровни энергии невырожденными ), функция распределения частиц называется функцией Ферми:

Распределение Ферми — Дирака как функция температуры. Заполнение уровней с энергиями растёт с увеличением температуры.

ПрименениеПравить

Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна применяются в том случае, когда необходимо учитывать квантовые эффекты, когда частицы обладают «неразличимостью». Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц   (где   — квантовая концентрация).

Квантовая концентрация — это концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть когда волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры. Статистика Ферми — Дирака применяется к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), статистика Бозе — Эйнштейна применяется к бозонам. Оба этих распределения становятся распределением Максвелла — Больцмана при высоких температурах и низких концентрациях.

Распределением Максвелла — Больцмана часто описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурация частицы   в состоянии 1 и частицы   в состоянии 2 отличается от конфигурации частицы   в состоянии 1 и частицы   в состоянии 2. Когда эта идея была проработана полностью, оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно, как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы. Статистики Ферми — Дирака, и Бозе — Эйнштейна приближаются к статистике Максвелла — Больцмана в пределе высоких температур и низких плотностей. Статистика Максвелла — Больцмана хорошо описывает поведение газов. Статистика Ферми — Дирака часто используется для описания электронов в твердых телах, на ней, к примеру, базируются основные положения теории полупроводников в частности, и электроники в целом.

Вывод распределенияПравить

 
Распределение Ферми — Дирака как функция от  . Высокоэнергетические состояния имеют меньшую вероятность. Или, низкоэнергетические состояния более вероятны.

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Энергия такой частицы равна  . Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

 

где

  — энергия состояния  ,
  — число частиц, находящихся в состоянии  ,
  — химический потенциал,
  — это индекс, пробегающий все возможные микросостояния системы.

В данном контексте система имеет фиксированные состояния. Итак, если какое либо состояние занято   частицами, то энергия системы —  . Если состояние свободно, то энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и то же физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся   и   соответственно. Видно, что  ,  , и  ,  . Поэтому функция распределения принимает вид:

 

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии   вычисляется по формуле

 

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии  , вероятность которого

 

  называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры  ,   есть вероятность того, что состояние с энергией   будет занято фермионом. Обратите внимание, что   является убывающей функцией от  . Это соответствует нашим ожиданиям: высокоэнергетические состояния занимаются с меньшей вероятностью.

Учтём, что энергетический уровень   имеет вырождение  . Теперь можно произвести простую модификацию:

 

Здесь   — ожидаемая доля частиц во всех состояниях с энергией  .

Для всех температур  :  при  . Это означает, что состояния с энергией   всегда будут иметь одинаковую вероятность быть заполненными или свободными.

При   вероятность состояния   с энергией   становится ступенчатой функцией (см. первый график). Все состояния с энергией меньше химического потенциала   будут заняты с вероятностью 1. Состояния с энергией выше химического потенциала   будут свободны. Химический потенциал при нулевой температуре — энергия Ферми, обозначается  , то есть  

Влияние температурыПравить

Необходимо заметить, что химический потенциал зависит от температуры. Однако для систем, имеющих температуру   ниже температуры Ферми   часто используется аппроксимация  . Функция   также представляется с любой точностью степенным рядом по чётным степеням отношения  :

 

Другой выводПравить

См. такжеПравить