Открыть главное меню

Фонон

Фоно́н — квазичастица, введённая советским учёным Игорем Таммом. Фонон представляет собой квант колебательного движения атомов кристалла.

Фонон
1D normal modes (280 kB).gif

Нормальные моды колебаний в кристалле. Амплитуда колебаний была увеличена для удобства просмотра; в реальном кристалле, она обычно существенно меньше межатомного расстояния.
Состав: Квазичастица
Классификация: Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке, Акустические фононы, Оптические фононы
Семья: Бозон[1]
Группа: Квант (колебательного движения атомов кристалла)
Теоретически обоснована: Игорь Тамм в 1932 году
Кол-во типов: 3
Спин: 0 ħ

Содержание

Необходимость использования квазичастицПравить

Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы. Фонон принадлежит к числу бозонов[1] и описывается статистикой Бозе–Эйнштейна. Спин фонона принимает значение 0 (в единицах  ). Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния в твердых телах. Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически взаимодействующих осцилляторов, причем наибольший вклад в их среднюю энергию дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и являются фононы.

Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейкеПравить

В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы  , равновесные положения которых определяются вектором решетки:

 

где  . Предположим, что поперечные и продольные смещения атомов независимы. Пусть   — одно из таких смещений атома, занимающего узел  . В потенциальной энергии   смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия будет:

 

Кинетическая энергия выражается через скорости смещений   с помощью функции:

 .

Введем циклические условия:

 .

Одномерной решетке соответствует зона Бриллюэна в  - пространстве с границами:

 .

Внутри этой зоны располагаются   неэквивалентных волновых векторов:

 

где  . От смещений отдельных атомов   удобно перейти к новым обобщенным координатам  , которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определенным значениям  . Для этого введем преобразование:

 

Новые переменные должны удовлетворять условию:

 .

Таким образом, потенциальная

 

и кинетическая энергия

 ,

где

 

выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные. Нас в дальнейшем будет интересовать частота фононных колебаний в виде:

 

Зная частоту фононов как функцию  , можно вычислить фазовую   и групповую   скорости соответствующих элементарных возбуждений:

 
 

Акустические фононыПравить

Длинноволновые возбуждения при   характеризуются величинами:

 
 .

Эти возбуждения можно рассматривать как упругие волны в среде. Скорость упругих волн (скорость звука) определяется в механике выражением:

 ,

где   — модуль Юнга, а   — одномерная плотность среды. Модуль Юнга определяет отношение силы   к вызванной ею относительной деформации  . Он равен

 .

Таким образом, акустическая скорость равна величине:

 .

Следовательно, рассматриваемые в пределе   возбуждения совпадают с акустическими волнами в упругой среде. Поэтому эти возбуждения называются акустическими фононами.

Тепловые фононыПравить

Тепловая энергия тела равна сумме энергий фононов (тепловых). Распределение фононов (тепловых) по состояниям при тепловом возбуждении в гармоническом приближении подчиняются статистике Больцмана[2].

Оптические фононыПравить

Когда волновой вектор приближается к границе зоны Бриллюэна (  или  ), то фазовая скорость будет равна величине:

 ,

а групповая скорость стремится к нулю. Эти элементарные возбуждения в твердом теле можно назвать оптическими фононами.

Акустические и оптические фононыПравить

 
Дисперсионные кривые для линейной двухатомной цепочки

Акустические фононыПравить

Акустический фонон характеризуется при малых волновых векторах линейным законом дисперсии и параллельным смещением всех атомов в элементарной ячейке. Такой закон дисперсии описывает звуковые колебания решетки (поэтому фонон и называется акустическим). Для трехмерного кристалла общей симметрии существует три ветви акустических фононов. Для кристаллов высокой симметрии эти три ветви можно разделить на две ветви поперечных волн различной поляризации и продольную волну. В центре зоны Бриллюэна (для длинноволновых колебаний) законы дисперсии для акустических фононов линейны.

 ,

где ω — частота колебаний, k — волновой вектор, а коэффициенты Si — скорости распространения акустических волн в кристалле, то есть скорости звука .

Оптические фононыПравить

Оптические фононы существуют только в кристаллах, элементарная ячейка которых содержит два и более атомов. Эти фононы характеризуются при малых волновых векторах такими колебаниями атомов, при которых центр тяжести элементарной ячейки остается неподвижным. Энергия оптических фононов обычно достаточно велика (порядка 500 см−1) и слабо зависит от волнового вектора.

Наряду с электронами, акустические и оптические фононы дают вклад в теплоёмкость кристалла. Для акустических фононов при низких температурах этот вклад, согласно модели Дебая, кубически зависит от температуры.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Энциклопедия физики и техники: Фонон
  2. Энергия тепловых колебаний решетки. Сайт кафедры физики твёрдого тела Петрозаводского государственного университета.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Соловьев В. Г. Теория атомного ядра: Квазичастицы и фононы. — Энергоатомиздат, 1989. — 304 с. — ISBN 5-283-03914-5.
  • Давыдов А. С. Теория твердого тела. М.:Наука, 1976.- 636 с.
  • Feynman, Richard P. Statistical Mechanics, A Set of Lectures. — Reading, Massachusetts : The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1972. — ISBN Clothbound: 0-8053-2508-5, Paperbound: 0-8053-2509-3.
  • Каганов М.И. "Квазичастица". Что это такое?. — Знание, 1971. — 75 с. — 12 500 экз.
  • Фейнман Р. Статистическая механика. — Мир, 1975. — 407 с.