Формальный степенной ряд

Формальный степенно́й ряд — формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты принадлежат некоторому кольцу .

В отличие от степенных рядов в анализе, формальным степенным рядам не придаётся числовых значений и сходимость таких рядов не рассматривается.

Формальные степенные ряды исследуются в алгебре, топологии, комбинаторике. Кроме того, они являются удобным инструментом при исследовании различных гладких объектов, например, в дифференциальной топологии и теории дифференциальных уравнений.

Основные понятияПравить

Алгебраические операцииПравить

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения ( ), умножения ( ), формального дифференцирования ( ) и композиции ( ) следующим образом. Пусть

 

Тогда

 
 
 
  (при этом необходимо, чтобы  ).

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом   сами образуют кольцо, обозначаемое  .

Метрика и топологияПравить

В кольце   также можно задать топологию, порождаемую следующей метрикой:

 

где   — наименьшее натуральное число такое, что  .

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементыПравить

Формальный ряд

 

в   является обратимым относительно умножения тогда и только тогда, когда   является обратимым в  . Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен  , и достаточным, поскольку коэффициенты обращённого ряда   определяются по формуле:

 

Если же  , а также  , то найдётся ряд   (аналогично  ), обратный для него относительно композиции, т.е. такой, что   (аналогично  ).

При этом будет выполнено   (аналогично  ). Оставшиеся коэффициенты ряда   ( ) можно выразить через коэффициенты   пошагово дифференцируя равенство   (аналогично  ) и подставляя в него  .

СвойстваПравить

  • Максимальными идеалами кольца формальных степенных рядов являются идеалы  , для которых   является максимальным идеалом в   и   есть порождение   и  .
  • Если   является локальным кольцом, то локальным кольцом является также  .
  •   — нётерово кольцо, то   также является кольцом Нётер.
  • Если   — область целостности, то   также будет областью целостности.
  • Метрическое пространство   является полным.
  • Кольцо   является компактным тогда, когда кольцо   является конечным.
  • Лемма Бореля — Уитни: для любого формального ряда существует такая бесконечно-гладкая функция, ряд Тейлора которой совпадает с данным формальным рядом[1].

См. такжеПравить

СсылкиПравить

ПримечанияПравить

  1. Павлова Н. Г., Ремизов А. О. Гладкие функции, формальные ряды и теоремы Уитни // Математическое образование. — 2016. — № 3 (79). — стр. 54.