Открыть главное меню

Форма объёмадифференциальная форма высшей размерности на гладком многообразии (то есть -форма на -мерном многообразии), которая не обнуляется ни в одной точке.

Форма объёма позволяет определить интеграл функции по многообразию. Другими словами, форма объёма задаёт меру, по которой можно интегрировать функции.

СвойстваПравить

  • Гладкое многообразие допускает форму объёма тогда и только тогда, когда оно ориентируемо.
  • На многообразии с формой объёма  , дивергенцию векторного поля   можно определить с помощью следующих тождеств:
     
где   обозначает производную Ли по  ,  внешний дифференциал, а   — операцию подстановки   в  .

ПримерыПравить

  • На любой группе Ли естественный выбор формы объёма получается из формы в единице правыми (или левыми) сдвигами. Такие фромы называются право- и левоинвариантными. Как следствие, всякая группа Ли ориентируема. Соответствующая мера называется мерой Хаара.
где   — абсолютное значение определителя матрицы представления метрического тензора.

ЛитератураПравить