Формула Брахмагупты

Фо́рмула Брахмагу́пты выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон и полупериметр , то его площадь выражается формулой:

Вариации и обобщенияПравить

  • Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например,  ).
  • На случай произвольных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть обобщена следующим образом:
     
где   есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять, роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна  , то полусумма двух других углов будет  , и  )
Иногда эту более общую формулу записывают так:
 
где   и   — длины диагоналей четырёхугольника.
  • Роббинс (англ.) доказал, что для любого вписанного многоугольника с   сторонами величина   является корнем некоторого многочлена  , коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для   и  . Другими авторами установлено, что многочлен   можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень   была равна  , если   и  , если  . Здесь
     
где  биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем  ,  ,  ,   (последовательность A000531 в OEIS) и  ,  ,  ,   (последовательность A107373 в OEIS).
  • Если в формуле Брахмагупты выразить полупериметр через полусумму всех сторон данного четырехугольника, возвести обе части в квадрат, умножить на -16, раскрыть скобки и привести подобные, то она примет вид:
 
  • Правая часть совпадает с разложением определителя, приведенного ниже, если его умножить на -1. Поэтому можно написать, что[1]
 
  • Есть модификация формулы Брахмагупты для геометрии Лобачевского [2]

Популярная литератураПравить

Научная литератураПравить

См. такжеПравить

  1. Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И.В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39.
  2. Медных А. Д. О формуле Брахмагупты в геометрии Лобачевского. Математическое просвещение 2012. Выпуск 16. С. 172–180// http://www.mathnet.ru/links/bdaefb8812875801603ce752bfa911d2/mp299.pdf