Формула Герона

(перенаправлено с «Формула Герона — Тартальи»)

Фо́рмула Герона — формула для вычисления площади треугольника по длинам его сторон :

,

где  — полупериметр треугольника: .

Формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми, такие треугольники носят название героновых, простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Вариации и обобщенияПравить

  • Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
     
     
     
     
  • Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде[1]:
     
Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера[en] для вычисления гиперобъёма симплекса.
  • Ряд формул для площади треугольника сходен по структуре формуле Герона, но выражается через другие параметры треугольника. Например, через длины медиан  ,   и   и их полусумму  [2]:
     ;
через длины высот  ,   и   и полусумму их обратных величин  [3]:
 ;
через углы треугольника  ,   и  , полусумму их синусов   и диаметр описанной окружности  [4]:
 
где   — полупериметр четырёхугольника; в данном случае треугольник оказывается предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Та же формула Брахмагупты через определитель[5]:
 
  • Для тетраэдров верна формула Герона — Тартальи, которая обобщена также на случай других многогранников (изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны  , то для его объёма   верно выражение:
     .
  • Формула Герона — Тартальи может быть выписана для тетраэдра в явном виде: если  ,  ,  ,  ,  ,   являются длинами рёбер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и, например, ребро   противоположно ребру   и так далее), тогда справедливы формулы[6][7]:
     
где:
 .
  • По теореме Люилье площадь сферического треугольника выражается через его стороны   как:
     ,
где   — полупериметр.

ПримечанияПравить

  1. Weisstein, Eric W. Heron’s Formula. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
  2. Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle, « Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324—326.
  3. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle, " Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
  4. Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines, " Mathematical Gazette 93, March 2009, 108—109.
  5. Стариков В. Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
  6. W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1], pp. 16-17.
  7. Маркелов С. Формула для объёма тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132

ЛитератураПравить

  • § 258 в А. П. Киселёв, Геометрия по Киселёву, arΧiv:1806.06942v3 [math.HO] 
  • Николаев Н. О площади треугольника (рус.) // В.О.Ф.Э.М.. — 1890. — № 108. — С. 227—228.
  • Raifaizen, Claude H. A Simpler Proof of Heron's Formula (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Vol. 44. — P. 27—28. — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора