Формула Кардано

Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

$y^{3}+py+q=0$

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано, опубликовавшего её в 1545 году. В 1545 году Никколо Тарталья обвинил Кардано в плагиате: последний в трактате «Ars Magna» раскрыл алгоритм решения кубических уравнений, доверенный ему Тартальей в 1539 году под обещание не публиковать. Хотя Кардано не приписывал алгоритм себе и честно сообщил в книге, что авторами являются Сципион дель Ферро и Тарталья, алгоритм ныне известен под незаслуженным названием «формула Кардано».

Любое кубическое уравнение общего вида

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

при помощи замены переменной

$x=y-{\frac {b}{3a}}$

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

$p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}},$

$q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.$

Формула

Определим величину:

$Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}.$

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней:

• Q > 0 — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
• Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
• Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел.

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

$y_{1}=\alpha +\beta ,$

$y_{2,3}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},$

где

$\alpha ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},$

$\beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}},$

Дискриминант многочлена $y^{3}+py+q$ при этом равен $\Delta =-108Q$.

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений $\alpha$ необходимо брать такое $\beta$, для которого выполняется условие $\alpha \beta =-p/3$ (такое значение $\beta$ всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения $\alpha ,\beta$.

Вывод

Представим уравнение в виде

$\prod _{i=1}^{3}(y-y_{i})=0\qquad (1)$

где $y_{i}$ - корни уравнения. Тогда

$\prod _{i=1}^{3}(y_{i})=-q.\qquad (2)$

Примем:

$\ -q=\alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad (3)$

Тогда, решая уравнение (3) получим

$\ -q=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta )\qquad (4)$

Одним из корней будет $\ y=\alpha +\beta$. Подставив его в исходное уравнение, получим:

$\alpha ^{3}+\beta ^{3}+(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )+q=0$

Подставляя q из (3), приходим к системе:

$\left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix}}\right.$

Зная, что в общем случае сумма $\alpha +\beta$ не равна нулю, получаем систему

$\left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix}}\right.$

которая равносильна системе

$\left\{{\begin{matrix}\alpha ^{3}\beta ^{3}=-{p^{3} \over 27}=m\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q=-n\end{matrix}}\right.$

Последняя представляет собой формулы Виета для двух корней $\alpha ^{3}$ и $\beta ^{3}$ квадратного уравнения:

$\ z^{2}+nz+m=0$

Оставшиеся два корня находятся разложением на множители многочлена

$\ \alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta$

См. также

• Кубическое уравнение
• Метод Феррари
• Резольвента алгебраического уравнения
• Тарталья, Никколо
• Теорема Абеля — Руффини

Литература

• Гусак А. А., Гусак Г. М., Бричикова Е. А. Справочник по высшей математике в двух томах. — Минск: Тетрасистемс, 1999. — 640 с. — ISBN 985-6317-51-7.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.

Ссылки

• http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php
• http://www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf