Формула Кардано

Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано, опубликовавшего её в 1545 году[1]. В 1545 году Никколо Тарталья обвинил Кардано в плагиате: последний в трактате «Ars Magna» раскрыл алгоритм решения кубических уравнений, доверенный ему Тартальей в 1539 году под обещание не публиковать. Хотя Кардано не приписывал алгоритм себе и честно сообщил в книге, что авторами являются Сципион дель Ферро и Тарталья, алгоритм ныне известен под незаслуженным названием «формула Кардано»[2].

Любое кубическое уравнение общего вида

при помощи замены переменной

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

ФормулаПравить

Определим величину[3]:

 

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней[3]:

  • Q > 0 — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
  • Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
  • Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел[3].

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

 

 

где

 
 

Дискриминант многочлена   при этом равен  .

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений   необходимо брать такое  , для которого выполняется условие   (такое значение   всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения  .

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 101. — 530 с. Архивная копия от 21 октября 2014 на Wayback Machine Архивированная копия. Дата обращения: 20 мая 2020. Архивировано 21 октября 2014 года.
  2. Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 101. — 530 с.
  3. 1 2 3 Справочник по высшей математике, 1999, с. 144.

СсылкиПравить