Формула Кардано
Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения
над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано.
Любое кубическое уравнение общего вида
при помощи замены переменной
может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами
Содержание
ФормулаПравить
Определим величину[1]:
Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней[1]:
- Q > 0 — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
- Q = 0 — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если p = q = 0, то один трёхкратный вещественный корень.
- Q < 0 — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел[1].
По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:
где
Дискриминант многочлена при этом равен .
Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений необходимо брать такое , для которого выполняется условие (такое значение всегда существует).
Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения .
Представим уравнение в виде
где - корни уравнения.Тогда
Примем:
Тогда, решая уравнение (3) получим
Одним из корней будет . Подставив его в исходное уравнение, получим:
Подставляя q из (3), приходим к системе:
- Зная, что в общем случае сумма не равна нулю получаем систему
которая равносильна системе
Последняя представляет собой формулы Виета для двух корней и квадратного уравнения:
Оставшиеся два корня находятся разложением на множители многочлена
См. такжеПравить
ЛитератураПравить
- Гусак А. А., Гусак Г. М., Бричикова Е. А. Справочник по высшей математике в двух томах. — Минск: Тетрасистемс, 1999. — 640 с. — ISBN 985-6317-51-7.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
ПримечанияПравить
- ↑ 1 2 3 Справочник по высшей математике, 1999, с. 144.