Открыть главное меню

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что

для любого .

Содержание

ДоказательствоПравить

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера   и тождества для экспонент  , где   — целое число[1]. Однако обычно формула Эйлера доказывается как следствие из формулы Муавра, стандартное доказательство опирается на простейшую геометрию.

ПрименениеПравить

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n-й степени из ненулевого комплексного числа:

 

где  .

Из основной теоремы алгебры следует, что корни  -й степени из комплексного числа всегда существуют, и их количество равно  . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса   с центром в нуле.

При   из формулы Муавра следуют выражения для вычисления значений тригонометрических функций с кратным аргументом.[стиль]

ИсторияПравить

Открыта английским математиком Абрахамом де Муавром.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Если b — нецелое число, то   — многозначная функция переменной a, и   является лишь одним из её значений.