Формула Пика

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами.

Названа в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.

ФормулировкаПравить

 
В = 7, Г = 8,
В + Г/2 − 1 = 10

площадь многоугольника с целочисленными вершинами[1] равна

В + Г / 2 − 1,

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

СледствияПравить

  • Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2.
    • Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разности подходящих дробей цепной дроби.

Вариации и обобщенияПравить

 
Контрпример к аналогу теоремы Пика в размерности 3.
  • Если все грани целочисленного многогранника   центрально симметричны (в частности если многогранник является зонэдром) то его объём может быть вычислен по формуле
     
где суммирование ведётся по всем целочисленным точкам   и   телесный угол   при  ; если   лежит внутри  , то считается что  .[2]
  • Аналогичное утверждение верно и в  -мерном Евклидовом пространстве  
 
где   обозначает площадь единичной сферы в  .

ПримечанияПравить

  1. Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые.
  2. Tabachnikov, Sergei, Pierre Deligne, and Sinai Robins. The Ice Cube Proof (англ.) // The Mathematical Intelligencer. — 2014. — Vol. 36, no. 4. — P. 1-3.

СсылкиПравить