Формула Ридберга

Фо́рмула Ри́дберга — эмпирическая формула, описывающая длины волн в спектрах излучения атомов химических элементов. Предложена шведским учёным Йоханнесом Ридбергом и представлена 5 ноября 1888 года.

Формула Ридберга в том виде, в котором она была представлена в ноябре 1888 года

Формула Ридберга для водородоподобных атомов выглядит следующим образом:

где  — длина волны света в вакууме;
 — постоянная Ридберга в общем случае различна для разных химических элементов;
 — атомный номер, или число протонов в ядре атома данного элемента;
и  — целые числа, такие что .

История

править

В 1880-х годах, Ридберг работал над формулой, описывающей взаимосвязь между длинами волн в спектрах щелочных металлов. Он заметил, что линии образуют серии, и обнаружил, что может уменьшить трудоёмкость расчётов, введя спектроскопическое волновое число (величина, равная   обратная длине волны, обозначается как  ) в качестве единицы измерения. Он записал волновые числа ( ) следующих друг за другом линий в каждой серии напротив расположенных параллельно в соответствующем порядке целых чисел, представляющих собой порядок линии в данной конкретной серии. Обнаружив, что получившиеся кривые имели похожие формы, он нашёл единую функцию, описывающую все эти кривые, при подстановке в неё соответствующих констант.

Сначала он проверил формулу   где   — волновое число спектральной линии,   — граница серии,   — порядковый номер линии в серии (константа, различная для разных серий) и   — универсальная константа. Эта формула не давала достаточно точных результатов.

Затем Ридберг проверил формулу   когда ему стала известна формула Бальмера для спектра атома водорода   В этой формуле,  

Ридберг переписал формулу Бальмера, используя обозначения волновых чисел, в следующем виде:

 

Это преобразование подсказало, что формула Бальмера для водорода может являться частным случаем при   и   где   — обратно константе Бальмера.

Величина   как было установлено позже, была универсальной константой, общей для всех элементов, равной   Эту константу сейчас называют постоянной Ридберга, и величину   называют квантовый дефект.

Как подчеркнул Нильс Бор[1], выражение результатов через волновые числа, а не через длины волн, было ключом к открытию Ридберга. Фундаментальная роль волновых чисел была особо подчёркнута открытием комбинационного принципа Ридберга — Ритца в 1908 году. Фундаментальная причина важности волновых чисел лежит в области квантовой механики, так как энергия фотонов с разной длиной волны прямо пропорциональна волновым числам.

Волновые числа световых волн пропорциональны частоте   и поэтому также пропорциональны энергии квантов света   То есть,   Современное понимание состоит в том, что графики Ридберга были упрощёнными (обладали невысокой степенью адекватности реальным зависимостям), так как отражали лишь простые свойства в поведении спектральных линий в условиях строго определённых (квантованных) разностей энергий между электронными орбиталями в атоме.

Классическое выражение Ридберга (в работе 1888 года) для длин волн спектральных серий не имело физическое объяснение. Пред-квантовое объяснение Ритца (1908 год) механизма «образования» спектральных серий состояло в том, что электроны в атоме ведут себя как постоянные магниты, и что эти магниты могут колебаться относительно атомного ядра (по крайней мере в течение некоторого времени), порождая электромагнитное излучение[2]. Это явление впервые было понято Нильсом Бором в 1913 году так, как оно включено в описание Боровская модель атома.

В боровской модели атома целые числа Ридберга (и Бальмера)   соответствуют электронным орбиталям на различных определённых расстояниях от ядра атома. Частота (или энергия), получается при переходе с уровня   на уровень   поэтому представляет собой энергию фотона, излучённого или поглощённого, когда электрон «перепрыгивает» с орбитали (уровня) 1 на орбиталь 2.

Формула Ридберга для атома водорода

править
 
Схема энергетических уровней атома водорода и спектральные серии
 
где   — длина волны электромагнитного излучения в вакууме;
  — постоянная Ридберга;
  и   — целые числа, причём  

Принимая   равным 1, и полагая, что   может принимать целые значения от 2 до бесконечности, получаем спектральные линии, известные как серия Лаймана, коротковолновая граница длин волн которых стремится к 91 нм. При подстановке в формулу   равным 2, 3, и т. д. аналогично получаются и другие спектральные серии:

n m Название серии Коротковолновая
граница серии
1 2 → ∞ Серия Лаймана 91,13 нм (Ультрафиолетовая часть спектра)
2 3 → ∞ Серия Бальмера 364,51 нм (Видимая часть спектра)
3 4 → ∞ Серия Пашена 820,14 нм (Инфракрасная часть спектра)
4 5 → ∞ Серия Брэккета 1458,03 нм (Инфракрасная часть спектра)
5 6 → ∞ Серия Пфунда 2278,17 нм (Инфракрасная часть спектра)
6 7 → ∞ Серия Хэмпфри 3280,56 нм (Инфракрасная часть спектра)

Формула Ридберга для любых водородоподобных атомов

править

Формула для атома водорода, приведённая выше, может быть дополнена для применения к любым водородоподобным атомам:

 
где   — длина волны излучения в вакууме;
  — постоянная Ридберга для данного химического элемента;
  — порядковый номер элемента в периодической таблице, то есть, количество протонов в атомных ядрах данного элемента;
  и   — целые числа, причём  

Важно заметить, что эта формула применима только для водородоподобных атомов, то есть для таких атомов, которые содержат в электронной оболочке только один электрон. Такими атомами являются, например,   и любые другие многократно ионизированные атомы с одним электроном в электронной оболочке.

Формула Ридберга позволяет получать правильные значения длин волн для атомов, находящихся в высоких степенях возбуждения, когда эффективный заряд ядра можно считать таким же как и у водорода, когда все, кроме одного, заряды в ядре экранированы другими электронами, и центр атома имеет эффективный положительный заряд, равный +1.

Для других спектральных переходов в многоэлектронных атомах, формула Ридберга даёт некорректные результаты, поскольку величина экранирования внутренних электронов для переходов внешних электронов варьируется, и нет возможности сделать в формуле подобную простую «компенсирующую» «ослабление действия заряда ядра» поправку, как приведено выше.

Формула Ридберга для характеристического рентгеновского излучения

править

При определённом изменении (замене   на   и использовании целых чисел   дающих численное значение   для разности их обратных квадратов (в формуле выше)), формула Ридберга даёт корректные результаты в специальном случае K-альфа линий, подобные переходы являются K-альфа переходом электрона с орбитали   на орбиталь   называемом характеристическим рентгеновским излучением. Это аналогично переходу, соответствующего линии Лаймана-альфа, для водорода, и имеет тот же самый частотный множитель. Поскольку 2p-электрон не экранирован от ядра в атоме никакими другими электронами, то заряд ядра ослаблен единственным остающимся 1s-электроном, делая атом фактически водородоподобным атомом, но со сниженным зарядом ядра   Частота излучения для этого перехода, таким образом, является частотой линии Лайман-альфа атома водорода, возрастая, благодаря величине   Эта формула   исторически известна как закон Мозли (добавляя скорость света   в формулу для замены длины волны на частоту), и может быть использована для вычисления длин волн   (K-альфа) рентгеновских спектральных линий в рентгеновских спектрах излучения химических элементов от алюминия до золота. Об исторической важности этого закона можно узнать, ознакомившись с биографией Генри Мозли. Этот закон был эмпирически установлен примерно в то же время, когда была создана боровская модель атома.

Примечания

править
  1. Bohr, N. Rydberg's discovery of the spectral laws // Collected works / Kalckar, J.. — Amsterdam: North-Holland Publ. Cy., 1985. — Т. 10. — С. 373—379.
  2. Ritz, W. Magnetische Atomfelder und Serienspektren (нем.) // Annalen der Physik : magazin. — 1908. — Bd. 330, Nr. 4. — S. 660—696. — doi:10.1002/andp.19083300403.

Ссылки

править