Открыть главное меню
Суть метода — аппроксимация функции f (x) (синий график) квадратичным полиномом P (x) (красный)

Формула Симпсона (также Ньютона-Симпсона[1]) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).

Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени , то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

Содержание

ФормулаПравить

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке  :

 

где  ,   и   — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

ПогрешностьПравить

При условии, что у функции   на отрезке   существует четвёртая производная, погрешность  , согласно найденной Джузеппе Пеано формуле, равна:

 

В связи с тем, что значение   зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:

 

Представление в виде метода Рунге-КуттыПравить

Формулу Симпсона можно представить в виде таблицы метода Рунге-Кутты следующим образом:

 

Составная формула (формула Котеса)Править

Для более точного вычисления интеграла, интервал   разбивают на   элементарных отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на составных отрезках. Каждый составной отрезок состоит из соседней пары элементарных отрезков. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на составных отрезках:

 
где   — величина шага, а   — чередующиеся границы и середины составных отрезков, на которых применяется формула Симпсона. Один подобный составной отрезок  состоит из двух элементарных отрезков  . Таким образом, если проводить параллели с простой формулой Симпсона, то в данном случае серединой отрезка, на котором применяется формула Симпсона, становится  .
Обычно для равномерной сетки данную формулу записывают в других обозначениях (отрезок   разбит на   отрезков) в виде
 

Также формулу можно записать используя только известные значения функции, то есть значения в узлах:

 
где   означает что индекс меняется от единицы с шагом, равным двум.

Общая погрешность   при интегрировании по отрезку   с шагом   (при этом, в частности,  ,  ) определяется по формуле[2]:

 .

При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:

 .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Формула Ньютона-Симпсона
  2. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — 4-е изд. — М: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2006. — С. 122. — 636 с. — ISBN 5-94774-396-5.

ЛитератураПравить