Формула Эйлера — Маклорена

Формула суммирования Эйлера — Маклорена — формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.

Формула была найдена независимо Леонардом Эйлером в 1732 году и Колином Маклореном примерно в 1735 году (и позже была обобщена до формулы Дарбу (англ.)). Эйлер получил эту формулу, когда ему потребовалось вычислить медленно сходящийся ряд, а Маклорен использовал её для вычисления интегралов.

ФормулаПравить

Формула Эйлера — Маклорена имеет вид:

 

где

 

здесь   — натуральное,  числа Бернулли,   — достаточно гладкая функция, чтобы иметь производные  ,  многочлен Бернулли,   — дробная часть x. В случае, когда   мало, получаем хорошее приближение для суммы.

Многочлены Бернулли   определяются рекуррентно как

 
 

Выражение   называется периодической функцией Бернулли.

Остаточный членПравить

Остаточный член R может быть легко выражен в терминах  :

 

или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что   дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:

 

где  . Можно показать, что

 

где   обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и  . С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как

 

ДоказательствоПравить

Операторные соображенияПравить

Перед доказательством удобно рассмотреть соображения высшего порядка (принадлежащие Лагранжу) о том, почему такая формула имеет место. Пусть   — разностный оператор,   — оператор суммирования,   — оператор дифференцирования,   — оператор интегрирования. Тогда оператор   обратен к  , а   обратен к  . Можно выразить   через   с помощью формулы Тейлора:

 

т.е.   и тогда  , а поскольку  , то

 

Применяя это операторное соотношение к  , получаем искомую формулу, но без остаточного члена.

Этот вывод чисто формальный и не касается вопросов сходимости.

Доказательство с остаточным членомПравить

Достаточно доказать формулу при  , поскольку мы можем любой отрезок   с целыми границами разбить на отрезки длины 1 и сдвигом перевести их в  . При   формула имеет вид

 

Доказательство будем вести индукцией по m.

База. При  . Интегрируя по частям, при  , мы получаем:

 

Шаг. Шаг индукции равносилен доказательству равенства  , то есть нужно доказать, что

 

Здесь снова применима формула интегрирования по частям при  :  , поэтому формула верна благодаря тому, что

 

то есть  , а это верно, поскольку при нечётных m у нас  .

ПрименениеПравить

Сумма степенейПравить

Вычислим сумму степеней  . Положим  , тогда   и  , вычисляя интегралы, получаем:

 

Сумма обратных квадратовПравить

Основная статья: Ряд обратных квадратов

Вычислить сумму

 

Эйлер вычислил эту сумму до 20 десятичных знаков с помощью небольшого числа членов формулы Эйлера-Маклорена в 1735. Это, вероятно, убедило его в том, что эта сумма равна  , что и было им доказано в том же году.[1][2]

Численное интегрированиеПравить

Формула Эйлера-Маклорена также может быть использована для детального анализа ошибок численных методов интегрирования. Она объясняет высокую производительность метода трапеций на гладких периодических функциях и используется в определенных методах экстраполяции. Clenshaw–Curtis quadrature существенно изменяет переменные, выражая произвольный интеграл в терминах интегралов периодических функций, для которых приближение Эйлера-Маклорена особенно точно (в этом частном случае формула Эйлера-Маклорена берется в форме дискретного косинус-преобразования). Эта техника называется преобразованием к периодической функции.

Асимптотическое выражение для суммыПравить

Для вычисления асимптотического выражения суммы или ряда обычно чаще всего используется следующая форма формулы Эйлера-Маклорена:

 

где a,b - целые. Часто формула остается справедливой и при расширении пределов   или  , или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен замкнутой форме в терминах элементарных функций, даже если сумма в левой части так не может быть выражена. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены в терминах элементарных функций. Например,

 

Здесь левая часть равна  , называемая полигамма-функцией первого порядка, определяемая как  ; гамма-функция   равна  , если z натуральное. Полученный результат есть асимптотическое разложение  . Это выражение используется как отправной пункт для получения оценки точной ошибки формулы Стирлинга для факториала.

Аппроксимация для гармонических чиселПравить

Полагаем  , тогда   и тогда получаем

 

где  . Отсюда можно относительно быстро вычислить постоянную Эйлера  .

Аппроксимация Стирлинга для факториалаПравить

Полагаем  , тогда   и тогда получаем

 

где на самом деле  . Взяв экспоненту от обеих частей, получим формулу Стирлинга.

ПримечанияПравить

  1. David J. Pengelley, "Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula", in: Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002), Euler Society, 2003.
  2. К. П. Кохась. Сумма обратных квадратов // Матем. просв.. — 2004. — Вып. 8. — С. 142–163.

ЛитератураПравить

  • Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: Мир, 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
  • Фихтенгольц Г. М. Глава 12. § 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера-Маклорена // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 7-е изд.,стереотип. — М.: Наука, 1969. — Т. 2. — С. 531—551. — 800 с.