Открыть главное меню
Приращение

Формула конечных приращений, или теорема Лагра́нжа о среднем значении, утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что

.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование: Пусть  — расстояние точки в момент от начального положения. Тогда есть путь, пройденный с момента до момента , отношение  — средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени , то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.

ДоказательствоПравить

Для функции одной переменной:

Введём функцию  . Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны. Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка  , в которой производная функции   равна нулю:

 

что и требовалось доказать.

Конечные и бесконечно малые приращенияПравить

Название «конечные приращение» объясняется тем фактом, что, если в формуле  , левую часть обозначить как  , а в правой части фактор   обозначить через  , то мы получим формулу в представлении:

 

что в свою очередь уже очень похоже на определение дифференциала:

 

с той лишь разницей, что формуле конечных приращений у нас дана формула нахождения истинного приращения  , но через производную   в точке  , которая находится где-то между   и  . Если же в формуле   устремить   к нулю, то в пределе мы получим  [1].

ПриложенияПравить

Вариации и обобщенияПравить

Теорема Лагранжа о конечных приращениях — одна из самых важных, узловая теорема во всей системе дифференциального исчисления. Она имеет массу приложений в вычислительной математике, и главнейшие теоремы математического анализа также являются её следствиями.

  • Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.

Доказательство. Для любых   и   существует точка  , такая что  .

Значит, при всех   и   верно равенство  .

Замечание. Аналогично доказывается следующий важный критерий монотонности для дифференцируемых функций: Дифференцируемая функция   возрастает/убывает на отрезке   тогда и только тогда, когда её производная   на этом отрезке неотрицательна/неположительна. При этом строгая положительность/отрицательность производной влечёт строгую монотонность функции  .

  • Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа). Если функция   дифференцируема   раз в окрестности точки  , то для малых   (то есть тех, для которых отрезок   лежит в указанной окрестности) справедлива формула Тейлора:
 

где   — некоторое число из интервала  .

Замечание. Данное следствие является в то же время и обобщением. При   из него получается сама теорема Лагранжа о конечных приращениях.

  • Если функция   переменных   дважды дифференцируема в окрестности точки О и все её вторые смешанные производные непрерывны в точке О, тогда в этой точке справедливо равенство:

 

Доказательство для  . Зафиксируем значения   и   и рассмотрим разностные операторы

  и  .

По теореме Лагранжа существуют числа  , такие что

 

при   в силу непрерывности вторых производных функции  .

Аналогично доказывается, что  .

Но так как  , (что проверяется непосредственно), то эти пределы совпадают.

Замечание. Следствием этой формулы является тождество   для оператора внешнего дифференциала, определённого на дифференциальных формах.

Доказательство. Пусть   — произвольное разбиение   отрезка  . Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков   найдём точку   такую, что  .

Суммируя эти равенства, получим:  

Слева стоит интегральная сумма Римана для интеграла   и заданного отмеченного разбиения. Переходя к пределу по диаметру разбиения, получим формулу Ньютона-Лейбница.

Замечание. Следствием (и обобщением) формулы Ньютона-Лейбница является формула Стокса, а следствием формулы Стокса является интегральная теорема Коши — основная теорема теории аналитических функций (ТФКП).

  • Теорема об оценке конечных приращений. Пусть отображение   непрерывно дифференцируемо в выпуклой компактной области   пространства  . Тогда  .

Замечание. Без использования теоремы об оценке конечных приращений не обходятся доказательства таких теорем, как теорема об обратном отображении, теорема о неявной функции, теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

ПримечанияПравить

  1. Николай Николаевич Лузин. Дифференциальное исчисление / С.И. Новосёлова. — 1-е. — Москва, Б-62, Подсосенский пер. 20: Государственное издательство "Высшая Школа", 1961. — С. 326. — 477 с.

См. такжеПравить