Открыть главное меню

Формула пяти элементов (сферическая геометрия)

Рисунок к формуле пяти элементов и её доказательству с помощью проекций.

Формула пяти элементов в сферической тригонометрии выражает соотношение между пятью элементами сферического треугольника[1].

ОписаниеПравить

Весь основной набор формул пяти элементов для различных углов и сторон треугольника может быть разделён на две группы:

  • Формулы, связывающие три стороны и два угла, иначе называемые формулами синуса стороны на косинус угла. Вот одна из них[2]:
 
  • Формулы, связывающие три угла и две стороны, иначе называемые формулами синуса угла на косинус стороны. Одна из них имеет вид:
 

В формуле синуса стороны на косинус угла сторона и прилежащий к ней угол выражаются через другие две стороны и угол между ними. Для каждой стороны можно взять один из двух прилежащих углов, поэтому всего таких формул шесть.

В формуле синуса угла на косинус стороны сторона и прилежащий к ней угол выражаются через другие два угла и прилежащую к ним сторону. Таких формул — тоже шесть.

Каждая формула синуса угла на косинус стороны двойственна к одной из формул синуса стороны на косинус угла, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника. Поэтому достаточно доказать только формулы синуса стороны на косинус угла. Более того, две формулы синуса стороны на косинус одного прилежащего угла и синуса той же стороны на косинус другого прилежащего угла получаются совершенно аналогично. А из этих двух формул остальные четыре формулы синуса стороны на косинус угла получаются при помощи круговой перестановки букв:

 

Таким образом, достаточно доказать одну из формул синуса стороны на косинус угла.

ДоказательствоПравить

Доказательство проведём с помощью проекций[1]. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол MPN равен b, кроме того, BM = R sin a, BN = R sin c и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную NOMP на прямую, содержащую NP.

 
 
 
 
 

Подставляем четыре последних выражения в первое и получаем:

 

ПрименениеПравить

Применяя формулу пяти элементов вместе с некоторыми другими формулами сферической тригонометрии, можно, например, получить формулы преобразования между системами небесных координат: горизонтальной, экваториальной, эклиптической и галактической[3].

ИсторияПравить

Формула пяти элементов была выведена Леонардом Эйлером в 18 веке[4].

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Степанов Н.Н. Формулы пяти элементов // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 32—35. — 154 с.
  2. Spherical Trigonometry на сайте MathWorld
  3. Цесевич В.П. Что и как наблюдать на небе. — 6-е изд. — М.: Наука, 1984. — С. 68—74. — 304 с.
  4. Сферическая тригонометрия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.