Формулы Виета

Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде.[1]:138—139

Формулировка

править

Если   — корни многочлена

 

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз, при этом общее количество корней с учётом кратных равно степени многочлена, иначе формулы неприменимы), то коэффициенты   выражаются в виде симметрических многочленов от корней[2], а именно:

 

Иначе говоря,   равно сумме всех возможных произведений из   корней.

Для применимости формул Виета обязательно наличие полного разложения многочлена, то есть количество корней с учётом кратности должно равняться степени многочлена. Это имеет место, в частности, всегда над полем комплексных чисел.

Следствие: из последней формулы Виета следует, что если все корни многочлена целочисленные, а общее их количество с учётом кратности равно степени многочлена, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Если старший коэффициент многочлена не равен единице:

 

то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на   (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:

 

Подобная методика применима не только в случае, когда все корни целые. Например, при умножении любого многочлена только с целыми корнями на многочлен   получается многочлен с подобным свойством, позволяющим выделить целые корни этим же методом, понизив в результате степень и дойдя до полного разложения. Также алгоритм имеет полезное расширение для поиска рациональных корней: для этого в качестве тестируемых кандидатов на корни рассматриваются дроби, в которых числитель является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем старшего коэффициента.

Доказательство

править

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что  

 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  , получаем формулы Виета.

Примеры

править

Квадратное уравнение

править

Если   и   — корни квадратного уравнения  , то

 

В частном случае, если   (приведённая форма  ), то

 

Кубическое уравнение

править

Если   — корни кубического уравнения  , то

 

Вариации и обобщения

править

Из приведённого выше доказательства видно, что формулы Виета получаются чисто алгебраически из свойств сложения и умножения. Поэтому они применимы к многочленам с коэффициентами из произвольной области целостности  , если старший коэффициент многочлена равен единице   а корни располагаются в алгебраическом замыкании поля частных для  

Если коэффициенты многочлена берутся из произвольного коммутативного кольца, не являющегося областью целостности (то есть имеющего делители нуля), то формулы Виета, вообще говоря, не выполняются. Например, рассмотрим в качестве   кольцо вычетов по модулю   и многочлен   Он имеет в этом кольце не два, а четыре корня:   Поэтому использованное в доказательстве разложение на линейные множители, число которых равно числу корней, не имеет места, и формулы Виета, как легко проверить, неверны.

См. также

править

Примечания

править
  1. Florian Cajori. A History of Mathematics. — 5th edition. — 1991.
  2. Алгебра многочленов, 1980, с. 26—28.

Литература

править
  • Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. Учебное пособие для студентов-заочников III—IV курсов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1980.
  • Weisstein, Eric W. Vieta’s Formulas / From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Viète theorem» (недоступная ссылка), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (англ.)
  • Funkhouser, H. Gray (1930), «A short account of the history of symmetric functions of roots of equations», American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357—365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273 (англ.)