Открыть главное меню

Фредгольмов оператор, или нётеров оператор, — это линейный оператор между векторными пространствами (обычно бесконечной размерности), у которого ядро и коядро конечномерны. Иначе говоря, пусть X, Y — векторные пространства. Оператор называют фредгольмовым, если

  • ,
  • .

Оператор между конечномерными пространствами всегда фредгольмов.

Обычно понятие рассматривают для банаховых пространств и оператор предполагают ограниченным.

Следует также отметить, что в силу своего определения, фредгольмов оператор всегда нормально разрешим.

Содержание

Индекс фредгольмова оператораПравить

Для таких операторов имеет смысл понятие индекса оператора:

 

Более того, для каждого конкретно заданного   существует фредгольмов оператор с индексом n.

Преобразования фредгольмовых операторовПравить

  • Сопряженный к фредгольмову оператору тоже фредгольмов:  . Более того, существует взаимооднозначная связь между индексами этих операторов:  
  • Композиция фредгольмовых операторов — фредгольмов оператор, а индекс его есть   (теорема Аткинсона)
  • Компактное возмущение сохраняет фредгольмовость и индекс оператора:  
  • Фредгольмовость и индекс также сохраняются при достаточно малых ограниченных возмущениях, то есть  . Иначе говоря, множество   является открытым в множестве   ограниченных операторов.

Теорема ФредгольмаПравить

  — фредгольмов (здесь   — тождественный оператор на X).

Критерии фредгольмовостьПравить

  • Критерий Нётера: T фредгольмов если, тогда и только тогда, когда T почти обратим, то есть он имеет почти обратный оператор.
  • Критерий Никольского: T фредгольмов тогда, и только тогда, когда T разложим в сумму S+K, где S — обратим, а K — компактен. Или, что то же самое:  , где   — множество обратимых линейных операторов.

ЛитератураПравить

  • Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9..