Открыть главное меню

Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании недостижимых кардиналов[en].

Впервые функторы начали рассматривать в алгебраической топологии, в которой топологическим пространствам сопоставляются алгебраические объекты (например, фундаментальная группа), а непрерывным отображениям — гомоморфизмы между этими объектами. Впоследствии функторы получили распространение во многих областях математики и используются для того, чтобы связывать между собой различные категории.

Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Рудольфа Карнапа[1], при этом у Карнапа слово «функтор» относилось к лингвистическому понятию[2].

Содержание

ОпределениеПравить

(Ковариантный) функтор   из категории   в категорию   — это отображение, которое:

  • сопоставляет каждому объекту   объект  
  • сопоставляет каждому морфизму   в категории   морфизм   в категории  . Это сопоставление должно обладать следующими свойствами:
    •  ,
    •  .

Таким образом, функтор должен сохранять тождественные морфизмы и структуру композиции морфизмов.

Аналогичным образом, контравариантный функтор — это отображение, обращающее стрелки (то есть сопоставляющее морфизму   морфизм  ), сохраняющее тождественные морфизмы и удовлетворяющее равенству:

 .

Также контравариантный функтор можно определить как ковариантный функтор из двойственной категории  . Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно, и вместо слов «контравариантный функтор из   в  » говорят «функтор из   в  » (или, иногда, «функтор из   в  »).

Бифункторы и мультифункторыПравить

Бифунктор — это функтор от двух аргументов. Естественный пример — функтор Hom, он ковариантен по одному аргументу и контравариантен по другому.

Формально бифункторы определяются как функторы из категории произведения. Например, функтор   имеет вид  .

Мультифунктор — это обобщение понятия бифунктора на   переменных.

ПримерыПравить

Для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах: существуют различные функторы, действующие одинаково на объектах, например, тождественный функтор и антитождественный функтор, обращающий стрелки.

  • Пусть   — подкатегория в категории  . В таком случае определён функтор вложения  , действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения классов.
  • Постоянный функтор: функтор, отображающий каждый объект категории   в фиксированный объект категории  , а каждый морфизм   — в тождественный морфизм этого объекта.
  • Эндофункторами называют любые функторы из категории в себя.
  • Предпучки: пусть   — топологическое пространство, тогда открытые подмножества   образуют частично упорядоченное множество по отношению включения, обозначаемое  . Как и любому частично упорядоченному множеству,   можно сопоставить категорию, добавляя единственный морфизм   тогда и только тогда, когда  . Контравариантные функторы из   называются предпучками. Например, существует функтор в категорию действительных алгебр, сопоставляющий открытому множеству алгебру вещественнозначных непрерывных функций на нём.
  • Фундаментальная группа: каждому топологическому пространству   с отмеченной точкой   можно сопоставить фундаментальную группу  , элементы которой — классы эквивалентности петель с точностью до гомотопии. Если   — морфизм пространств с отмеченной точкой (непрерывное отображение, переводящее отмеченную точку первого пространства в отмеченную точку второго), каждой петле из точки   можно сопоставить её образ, являющийся петлёй из точки  . Это сопоставление согласуется с классами эквивалентности и с операцией композиции, следовательно, является гомоморфизмом из   в  . Нетрудно проверить, что выполняются и все остальные свойства ковариантного функтора из категории топологических пространств с отмеченной точкой в категорию групп.
  • Тензорное произведение: если   — категория векторных пространств над фиксированным полем, тензорное произведение двух пространств задаёт функтор  , ковариантный по обоим аргументам[3].
  • Функтор   сопоставляет полю   его абсолютную группу Галуа  , а гомоморфизму полей — соответствующий[прояснить] гомоморфизм групп Галуа.

СвойстваПравить

  • Функтор переводит коммутативные диаграммы в коммутативные диаграммы.
  • Функтор переводит изоморфизмы в изоморфизмы.
  • Композиция двух функторов тоже является функтором. Композиция функторов является ассоциативной операцией (там, где она определена), поэтому функторы между малыми категориями удовлетворяют всем свойствам морфизмов в категории.

Категория из одного объекта — то же самое, что моноид: морфизмы в ней соответствуют элементам моноида, а операция композиции морфизмов — операции, определённой в моноиде. Функторы между категориями с одним объектом взаимно-однозначно соответствуют гомоморфизмам моноидов; следовательно, в некотором смысле, функтор является обобщением понятия гомоморфизма моноидов на «моноиды, в которых операция композиции определена не всюду».

Связь с другими категорными понятиямиПравить

Пусть   и   — категории. Множество всех морфизмов   можно считать множеством объектов другой категории: категории функторов. Морфизмы в этой категории — естественные преобразования функторов.

Функторы довольно часто задают при помощи универсальных свойств, примеры включают в себя тензорные произведения, произведения групп, множеств или векторных пространств, прямые и обратные пределы. Также универсальные конструкции часто задают пару сопряжённых функторов.

ПримечанияПравить

  1. Маклейн, 2004, с. 42.
  2. Carnap R. The Logical Syntax of Language. — Routledge & Kegan Paul, 1937. — P. 13—14.
  3. Hazewinkel M., Gubareni N. M., Kirichenko V. V.  Algebras, Rings and Modules. Vol. 1. — Dordrecht: Springer Science & Business Media, 2004. — 380 p. — (Mathematics and Its Applications, vol. 575). — ISBN 978-1-4020-2690-4. — P. 99—100.

ЛитератураПравить

  • Букур И., Деляну А.  Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972. — 259 с.
  • Маклейн С.  Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4. — С. 43—67.
  • Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г.  Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974. — 256 с.

СсылкиПравить

  • Marquis, Jean-Pierre. Category Theory (англ.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. — Включает в себя очень полный список литературы. Дата обращения 30 июля 2013. Архивировано 13 августа 2013 года.