Открыть главное меню

Функции Бесселя

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

где  — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя и порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Содержание

ПримененияПравить

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

  • электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
  • теплопроводность в цилиндрических объектах;
  • формы колебания тонкой круглой мембраны
  • распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.
  • скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
  • волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

ОпределенияПравить

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого родаПравить

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми  , являются решения, конечные в точке   при целых или неотрицательных  . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых  ):

 

Здесь   — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально  , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Ниже приведены графики   для  :

Если   не является целым числом, функции   и   линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если   целое, то верно следующее соотношение:

 

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы БесселяПравить

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений  , используя интегральное представление:

 

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

 

Функции НейманаПравить

Функции Неймана — решения   уравнения Бесселя, бесконечные в точке  .

Эта функция связана с   следующим соотношением:

 

где в случае целого   берётся предел по  , вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

 

Ниже приведён график   для  :

СвойстваПравить

ОртогональностьПравить

Пусть   - нули функции Бесселя  . Тогда[1]:

 .

АсимптотикаПравить

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах   и неотрицательных   они выглядят так[2]:

 
 ,

где   — постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), а   — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов ( ) формулы выглядят так:

 
 

Гипергеометрический рядПравить

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

 

Таким образом, при целых   функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функцияПравить

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

 

СоотношенияПравить

Формула Якоби — Ангера и связанные с нейПравить

Получается выражения для производящей функции при  ,  :[3]

 

При  ,  :[3]

 

Теорема сложенияПравить

Для любого целого n и комплексных  ,   выполняется[4]

 

Интегральные выраженияПравить

Для любых   и   (в том числе комплексных) выполняется[5]

 

Частным случаем последней формулы является выражение

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Зубов В. И.  Функции Бесселя. — М.: МФТИ, 2007.
  2. Arfken G. B., Hans J. W.  Mathematical Methods for Physicists. 6th ed. — San Diego: Harcourt, 2005. — ISBN 0-12-059876-0.
  3. 1 2 Бейтмен, Эрдейи, 1974, с. 15.
  4. Лаврентьев, Шабат, 1973, с. 670.
  5. Лаврентьев, Шабат, 1973, с. 671.

ЛитератураПравить

  • Ватсон Г.  Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А.  Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.  Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.