Функции Матьё

Функции Матьё — математические специальные функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Матьё. Используются при решении различных задач математической физики, в частности, при описании волнового движения с эллиптическими граничными условиями, при изучении явления параметрического резонанса, при изучении нелинейных колебаний в различных разделах теоретической и экспериментальной физики и т. д.

Уравнение МатьёПравить

Уравнением Матьё называется дифференциальное уравнение вида (каноническая форма):

 

где   и   - параметры, от которых зависит поведение решения (устойчивое или неустойчивое), данную зависимость иллюстрирует диаграмма Айнса-Стретта.

Решения уравнения МатьёПравить

Согласно теореме Флоке, всегда существуют решения уравнения Матьё в виде:  , где   имеет период  . При   эти решения являются периодическими с периодом   и называются функциями Матьё. Они обозначаются как:  . Функции Матьё можно представить в виде сумм косинусов или синусов:   где величины   являются функциями от величин   в уравнении Матьё. Значения   можно получить, подставляя решение уравнения Матьё в виде разложения по ряду Фурье в уравнение и приравнивая подобные члены.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить