Функциональная отделимость

Функциональная отделимость — свойство пары подмножеств топологического пространства.

Определение

Два подмножества $A$ и $B$ в данном топологическом пространстве $X$ называются функционально отделимыми в $X$, если существует такая определенная во всём пространстве вещественная ограниченная непрерывная функция $f$, которая принимает во всех точках множества $A$ одно значение $a$, a во всех точках множества $B$ ― некоторое отличное от $a$ значение $b$. При этом всегда можно предположить, что $a=0,b=1,0\leqslant f(x)\leqslant 1$ во всех точках $x\in X$.

Связанное определение

Пространство, в котором всякая точка функционально отделима от всякого не содержащего её замкнутого множества, называется вполне регулярным.

Свойства

• Два функционально отделимых множества всегда отделимы и окрестностями. Обратное утверждение верно не всегда, однако имеет место:
  • Лемма Урысона. В нормальном пространстве всякие два дизъюнктные замкнутые множества функционально отделимы.

См. также

• Принцип разделимости
• Теорема Титце о продолжении