Открыть главное меню

Функциональная производная

В математике и теоретической физике функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления.

Существуют два основных вида функциональных производных, соответствующих общему определению производной Фреше и производной Гато функции на банаховом пространстве. На практике они зачастую не различаются.

ОпределениеПравить

Пусть   — некоторый функционал, то есть функция, определённая на некотором множестве функций. Значение функционала   на функции   обозначают  . Его производная Гато (производная по направлению) есть предел (если он существует) выражения  . Здесь   — некоторая функция из области определения  . Отметим, что такая производная, вообще говоря, зависит от выбора функции  . В этом смысле ситуация вполне аналогичная конечномерной. Например, функция   дифференцируема в точке   справа и слева, но эти односторонние производные различны, а в обычном смысле эта функция в 0 не дифференцируема.

Гораздо чаще в приложениях возникает производная функционала, аналогичная классической конечномерной производной и являющаяся частным случаем производной Гато. Не давая общего определения, рассмотрим типичный пример: поиск экстремума функционала на множестве траекторий, проходящих через две заданные точки. Такая задача возникает при исследовании задач классической механики с помощью принципа наименьшего действия, подобного же типа задача о нахождении фигуры максимальной площади с заданным периметром и т. п.

Пусть функционал   имеет интегральный вид

 

Его первой вариацией называется выражение

 

Если она представима в виде

 

с точностью до величин второго порядка по  , то функция   называется функциональной производной   по   и обозначается  . Функционал при этом называют дифференцируемым.

Конкретно в данной задаче  , но в общем случае ответ существенно зависит от постановки задачи и граничных условий.

Вторая вариацияПравить

Если функционал дифференцируем, то можно определить аналог второй производной (в данном случае он скорее аналогичен матрице вторых частных производных). Раскладывая полную вариацию   до второго порядка по   и отбрасывая величины первого порядка, получим выражение, называемое второй вариацией функционала:

 

СвойстваПравить

Функциональная производная по свойствам аналогично обычной. Например:

  • Линейность.  
  • Тождество Лейбница.  
  • Разложение полной вариации по частным производным:  
  • В точке экстремума функционала его производная равна 0. Точка экстремума является точкой минимума (максимума), если вторая вариация — положительно (отрицательно) определённая квадратичная форма.

и так далее.

ПримерыПравить

ЭнтропияПравить

Информационная энтропия дискретной случайной величины — это функционал функции вероятности.

 

Поэтому

 

Поэтому

 

ЭкспонентаПравить

Пусть

 

Используем в качестве пробной функции дельта-функцию:

 

Поэтому