Функциональное уравнение — уравнение , выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям . Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.
Функциональному уравнению:
f
(
s
)
=
2
s
π
s
−
1
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
f
(
1
−
s
)
{\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)}
где
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
гамма-функция Эйлера , удовлетворяет дзета-функция Римана
ζ
{\displaystyle \zeta }
Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:
f
(
x
)
=
f
(
x
+
1
)
x
{\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}}
f
(
y
)
f
(
y
+
1
2
)
=
π
2
2
y
−
1
f
(
2
y
)
{\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}
f
(
z
)
f
(
1
−
z
)
=
π
sin
(
π
z
)
{\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}}
формула дополнения Эйлера )Функциональное уравнение:
f
(
a
z
+
b
c
z
+
d
)
=
(
c
z
+
d
)
k
f
(
z
)
{\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}
где
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
целыми числами , удовлетворяющими равенству
a
d
−
b
c
=
1
{\displaystyle ad-bc=1}
|
a
b
c
d
|
=
1
{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1}
определяет
f
{\displaystyle f}
модулярную форму порядка
k
{\displaystyle k}
Функциональные уравнения Коши:
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
+
f
(
y
)
{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}
линейные однородные функции
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=ax}
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
f
(
y
)
{\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}
показательные функции
f
(
x
)
=
exp
(
α
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^{x}}
f
(
x
y
)
=
f
(
x
)
+
f
(
y
)
{\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}
логарифмические функции
f
(
x
)
=
α
log
(
x
)
=
log
a
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\alpha \log \left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)}
f
(
x
y
)
=
f
(
x
)
f
(
y
)
{\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}
степенные функции
f
(
x
)
=
exp
(
α
log
(
x
)
)
=
x
a
{\displaystyle f(x)=\exp \left(\alpha \log \left(x\right)\right)=x^{a}}
Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение
f
(
x
1
x
2
)
=
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
{\displaystyle f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})}
g
(
y
1
+
y
2
)
=
g
(
y
1
)
+
g
(
y
2
)
{\displaystyle g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})}
g
(
y
)
=
log
|
f
(
exp
y
)
|
{\displaystyle g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
≡
0
{\displaystyle f(x)\equiv 0}
Базис Гамеля ».
Другие:
f
(
x
+
y
)
+
f
(
x
−
y
)
=
2
[
f
(
x
)
+
f
(
y
)
]
{\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]}
тождество параллелограмма , удовлетворяет
f
(
x
)
=
k
x
2
{\displaystyle f(x)=kx^{2}}
f
(
x
+
y
2
)
=
f
(
x
)
+
f
(
y
)
2
{\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {f(x)+f(y)}{2}}}
линейные функции
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
f
(
x
+
y
)
f
(
x
−
y
)
=
f
(
x
)
2
{\displaystyle f(x+y)f(x-y)=f(x)^{2}}
f
(
x
)
=
a
c
x
{\displaystyle f(x)=ac^{x}}
f
(
x
+
y
)
+
f
(
x
−
y
)
=
2
[
f
(
x
)
f
(
y
)
]
{\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)f(y)]}
f
(
h
(
x
)
)
=
f
(
x
)
+
1
{\displaystyle f(h(x))=f(x)+1}
уравнение Абеля ,
f
(
h
(
x
)
)
=
c
f
(
x
)
{\displaystyle f(h(x))=cf(x)}
уравнение Шрёдера , решением является функция Кёнигса , связанная с функцией
h
(
x
)
{\displaystyle \textstyle h(x)}
Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение , содержащее неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига .
Линейные рекуррентные соотношения:
a
(
n
)
=
∑
i
=
1
,
k
c
i
⋅
a
(
n
−
i
)
{\displaystyle a(n)=\sum _{i=1,k}c_{i}\cdot a(n-i)}
(где
c
1
,
c
2
,
…
,
c
k
{\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{k}}
n
{\displaystyle n}
a
(
n
)
=
3
a
(
n
−
1
)
+
4
a
(
n
−
2
)
{\displaystyle a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)}
достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями.
Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию
a
(
n
)
=
λ
n
{\displaystyle a(n)=\lambda ^{n}}
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
{\displaystyle \lambda }
квадратное уравнение
λ
2
=
3
λ
+
4
{\displaystyle \lambda ^{2}=3\lambda +4}
λ
=
−
1
{\displaystyle \lambda =-1}
λ
=
4
;
{\displaystyle \lambda =4;}
a
(
n
)
=
d
1
4
n
+
d
2
(
−
1
)
n
{\displaystyle a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n}}
d
1
{\displaystyle d_{1}}
d
2
{\displaystyle d_{2}}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
a
(
1
)
{\displaystyle a(1)}
a
(
2
)
{\displaystyle a(2)}
n
λ
n
,
{\displaystyle n\lambda ^{n},}
n
2
λ
n
{\displaystyle n^{2}\lambda ^{n}}
Одним из широко известных рекуррентных соотношений является
a
(
n
)
=
a
(
n
−
1
)
+
a
(
n
−
2
)
{\displaystyle a(n)=a(n-1)+a(n-2)}
последовательность Фибоначчи .
править
Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.
В частности, полезным может оказаться применение понятия об инволюции , то есть, использование свойств функций, для которых
f
(
f
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle f(f(x))=x}
f
(
x
)
=
−
x
{\displaystyle f(x)=-x}
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
f
(
x
)
=
1
1
−
x
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}+1}
f
(
x
)
=
1
−
x
{\displaystyle f(x)=1-x}
Применение инволюции относится к функциональному методу решения уравнений.
Решить уравнение
f
(
x
)
⋅
f
(
1
1
−
x
)
=
1
−
x
x
{\displaystyle f{\left(x\right)}\cdot {f{\left({\dfrac {1}{1-x}}\right)}}={\dfrac {1-x}{x}}}
Шаг 0 Введём в рассмотрение функцию
τ
(
x
)
=
1
1
−
x
{\displaystyle \tau (x)={\dfrac {1}{1-x}}}
τ
2
(
x
)
{\displaystyle {\tau }^{2}(x)}
τ
2
(
x
)
=
1
1
−
1
1
−
x
=
1
−
x
1
−
x
−
1
=
x
−
1
x
=
τ
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle {\tau }^{2}(x)={\dfrac {1}{1-{\dfrac {1}{1-x}}}}={\dfrac {1-x}{1-x-1}}={\dfrac {x-1}{x}}={\tau }^{-1}(x).}
τ
3
(
x
)
=
x
{\displaystyle {\tau }^{3}(x)=x}
Шаг 1 Уравнение перепишется в виде:
f
(
x
)
⋅
f
(
τ
(
x
)
)
=
−
τ
−
1
(
x
)
{\displaystyle f{\left(x\right)}\cdot {f{\left(\tau (x)\right)}}=-{\tau }^{-1}(x)}
Шаг 2 Подставим везде, где есть
x
{\displaystyle x}
τ
−
1
(
x
)
{\displaystyle {\tau }^{-1}(x)}
f
(
τ
−
1
(
x
)
)
⋅
f
(
τ
(
τ
−
1
(
x
)
)
)
=
−
τ
−
1
(
τ
−
1
(
x
)
)
⟹
f
(
τ
−
1
(
x
)
)
⋅
f
(
x
)
=
−
τ
−
2
(
x
)
.
{\displaystyle f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}\cdot {f{\left(\tau ({\tau }^{-1}(x))\right)}}=-{\tau }^{-1}({\tau }^{-1}(x))\Longrightarrow f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}=-{\tau }^{-2}(x).}
τ
2
(
x
)
=
τ
−
1
(
x
)
{\displaystyle {\tau }^{2}(x)={\tau }^{-1}(x)}
τ
−
2
(
x
)
=
τ
(
x
)
{\displaystyle {\tau }^{-2}(x)={\tau }(x)}
Поэтому
f
(
τ
−
1
(
x
)
)
⋅
f
(
x
)
=
−
τ
(
x
)
{\displaystyle f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}=-{\tau }(x)}
Шаг 3 Теперь из результатов Шага 1 и Шага 2 делаем простой вывод:
f
(
x
)
=
−
τ
(
x
)
f
(
τ
−
1
(
x
)
)
=
−
τ
−
1
(
x
)
f
(
τ
(
x
)
)
.
{\displaystyle f(x)={\dfrac {-{\tau (x)}}{f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}}}={\dfrac {{-{\tau }}^{-1}(x)}{f{\left({\tau }(x)\right)}}}.}
Шаг 4 Подставим везде, где есть
x
{\displaystyle x}
τ
(
x
)
{\displaystyle {\tau }(x)}
f
(
τ
−
1
(
x
)
)
=
−
x
f
(
τ
(
x
)
)
=
−
τ
(
x
)
f
(
x
)
.
{\displaystyle f{\left({\tau }^{-1}(x)\right)}={\dfrac {-x}{f{\left({\tau }(x)\right)}}}={\dfrac {{-{\tau }}(x)}{f{\left(x\right)}}}.}
Шаг 5 Наконец,
{
−
x
f
(
τ
(
x
)
)
=
−
τ
(
x
)
f
(
x
)
,
f
(
x
)
⋅
f
(
τ
(
x
)
)
=
−
τ
−
1
(
x
)
⟹
{
f
(
τ
(
x
)
)
=
(
−
x
)
⋅
f
(
x
)
−
τ
(
x
)
,
f
(
x
)
⋅
f
(
τ
(
x
)
)
=
−
τ
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{array}{rcrcc}{\dfrac {-x}{f{\left({\tau }(x)\right)}}}={\dfrac {{-{\tau }}(x)}{f{\left(x\right)}}},\\f{\left(x\right)}\cdot {f{\left(\tau (x)\right)}}=-{\tau }^{-1}(x)\end{array}}\end{cases}}\Longrightarrow {\begin{cases}{\begin{array}{rcrcc}{f{\left({\tau }(x)\right)}}={\dfrac {{\left(-x\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}}{{-{\tau }}(x)}},\\f{\left(x\right)}\cdot {f{\left(\tau (x)\right)}}=-{\tau }^{-1}(x)\end{array}}\end{cases}}.}
Шаг 6 Подставим выражение
f
(
τ
(
x
)
)
{\displaystyle {f{\left({\tau }(x)\right)}}}
f
(
x
)
⋅
(
−
x
)
⋅
f
(
x
)
−
τ
(
x
)
=
−
τ
−
1
(
x
)
⟺
f
(
x
)
⋅
f
(
x
)
=
−
τ
(
x
)
⋅
τ
−
1
(
x
)
x
.
{\displaystyle f{\left(x\right)}\cdot {\dfrac {{\left(-x\right)}\cdot {f{\left(x\right)}}}{{-{\tau }}(x)}}=-{\tau }^{-1}(x)\Longleftrightarrow f{\left(x\right)}\cdot f{\left(x\right)}={\dfrac {{-{\tau }}(x)\cdot {{\tau }^{-1}{\left(x\right)}}}{x}}.}
Ответ
f
(
x
)
=
±
−
τ
(
x
)
⋅
τ
−
1
(
x
)
x
=
±
1
x
{\displaystyle f{\left(x\right)}=\pm {\sqrt {\dfrac {{-{\tau }}(x)\cdot {{\tau }^{-1}{\left(x\right)}}}{x}}}=\pm {\dfrac {1}{x}}}
f
(
x
)
=
1
x
&
x
≠
0.
{\displaystyle f{\left(x\right)}={\dfrac {1}{x}}\,\&\,x\neq 0.}
Также можно применить вычислительный метод.
Пример 1 . Для решения уравнения:
f
(
x
+
y
)
2
=
f
(
x
)
2
+
f
(
y
)
2
{\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}}
для всех
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
f
:
R
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
x
=
y
=
0
{\displaystyle x=y=0}
f
(
0
)
2
=
f
(
0
)
2
+
f
(
0
)
2
{\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}}
f
(
0
)
2
=
0
{\displaystyle f(0)^{2}=0}
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
y
=
−
x
{\displaystyle y=-x}
f
(
x
−
x
)
2
=
f
(
x
)
2
+
f
(
−
x
)
2
{\displaystyle f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}
f
(
0
)
2
=
f
(
x
)
2
+
f
(
−
x
)
2
{\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}
0
=
f
(
x
)
2
+
f
(
−
x
)
2
{\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}
Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда , когда оба числа равны 0. Значит
f
(
x
)
2
=
0
{\displaystyle f(x)^{2}=0}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
≡
0
{\displaystyle f(x)\equiv 0}
Другим методом является метод замены .
Пример 2 . Решить:
f
(
x
−
3
x
+
1
)
+
f
(
x
+
3
1
−
x
)
=
x
{\displaystyle f\left({\dfrac {x-3}{x+1}}\right)+f\left({\dfrac {x+3}{1-x}}\right)=x}
Ясно, что
x
∉
{
−
1
;
1
}
{\displaystyle x\notin \left\{-1;\,1\right\}}
Решить такое уравнение — значит отыскать функцию
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Введём обозначения:
x
−
3
x
+
1
⇋
g
(
x
)
{\displaystyle {\dfrac {x-3}{x+1}}\leftrightharpoons g\left(x\right)}
x
+
3
1
−
x
⇋
h
(
x
)
{\displaystyle {\dfrac {x+3}{1-x}}\leftrightharpoons h\left(x\right)}
Тогда исходное уравнение приобретёт вид
f
(
g
(
x
)
)
+
f
(
h
(
x
)
)
=
x
.
{\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)+f\left(h\left(x\right)\right)=x.}
Функции
g
(
x
)
{\displaystyle g\left(x\right)}
h
(
x
)
{\displaystyle h\left(x\right)}
g
(
h
(
x
)
)
=
h
(
g
(
x
)
)
=
x
.
{\displaystyle g\left(h\left(x\right)\right)=h\left(g\left(x\right)\right)=x.}
Кроме того, выполняются соотношения:
g
(
g
(
x
)
)
=
h
(
x
)
,
h
(
h
(
x
)
)
=
g
(
x
)
.
{\displaystyle g\left(g\left(x\right)\right)=h\left(x\right),\quad h\left(h\left(x\right)\right)=g\left(x\right).}
Значит, подставим по отдельности
g
(
x
)
{\displaystyle g\left(x\right)}
h
(
x
)
{\displaystyle h\left(x\right)}
f
(
g
(
x
)
)
+
f
(
h
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle f\left(g\left(x\right)\right)+f\left(h\left(x\right)\right)=x}
Получим систему:
{
f
(
x
)
+
f
(
g
(
x
)
)
=
h
(
x
)
,
f
(
h
(
x
)
)
+
f
(
x
)
=
g
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{cases}f\left(x\right)+f\left(g\left(x\right)\right)=h\left(x\right),\\f\left(h\left(x\right)\right)+f\left(x\right)=g\left(x\right).\end{cases}}}
Откуда будем иметь
2
⋅
f
(
x
)
+
f
(
g
(
x
)
)
+
f
(
h
(
x
)
)
=
g
(
x
)
+
h
(
x
)
{\displaystyle 2\cdot f\left(x\right)+f\left(g\left(x\right)\right)+f\left(h\left(x\right)\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)}
Или, что то же самое,
2
⋅
f
(
x
)
+
x
=
g
(
x
)
+
h
(
x
)
{\displaystyle 2\cdot f\left(x\right)+x=g\left(x\right)+h\left(x\right)}
Следовательно,
f
(
x
)
=
g
(
x
)
+
h
(
x
)
−
x
2
=
x
3
+
7
x
2
−
2
x
2
{\displaystyle f\left(x\right)={\dfrac {g\left(x\right)+h\left(x\right)-x}{2}}={\dfrac {x^{3}+7x}{2-2x^{2}}}}
x
∉
{
−
1
;
1
}
{\displaystyle x\notin \left\{-1;\,1\right\}}
Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175 .Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997. 
![{\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc2b6c1c0f6c83aeac4adc220261d1e89bd69321)
![{\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)f(y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e82ffb1bb199992ccb91290ade2e38e649c594)
