Открыть главное меню

Функциональное уравнение

Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

ПримерыПравить

Функциональному уравнению:

 ,

где   — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана  .

Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:

 
 
  (формула дополнения Эйлера)

Функциональное уравнение:

 ,

где   являются целыми числами, удовлетворяющими равенству  , то есть:

 ,

определяет   как модулярную форму порядка  .

Функциональные уравнения Коши:

  •   — удовлетворяют все линейные однородные функции  ,
  •   — удовлетворяют все показательные функции  ,
  •   — удовлетворяют все логарифмические функции  ,
  •   — удовлетворяют все степенные функции  .

Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение   приводится к уравнению   после замены   (для этого, естественно, нужно, чтобы   не была тождественным нулём). В классе непрерывных функций и в классе монотонных функций приведённые решения — единственные, если не считать вырожденное решение  . Однако в более широких классах функций возможны весьма экзотические решения, см. статью «Базис Гамеля».

Другие:

  •   — квадратичное уравнение или тождество параллелограмма, удовлетворяет  ,
  •   — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции  ,
  •   — уравнение Лобачевского (версия уравнения Йенсена), удовлетворяет  ,
  •   — уравнение Даламбера,
  •   — уравнение Абеля[en],
  •   — уравнение Шрёдера[en], решением является функция Кёнигса, связанная с функцией  .

Рекуррентные соотношенияПравить

Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение, содержащее неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.

Линейные рекуррентные соотношения:

 

(где   — константы, не зависящие от  ) имеют теорию, аналогом которой является теория линейных дифференциальных уравнений. Например, для линейного рекуррентного соотношения:

 ,

достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями.

Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию   с неопределённым параметром   и попробовать найти те  , при которых будет удовлетворяться данное рекуррентное соотношение. Для приведённого примера получим квадратное уравнение   с двумя различными корнями   и   поэтому общим решением для данного рекуррентного соотношения будет формула   (константы   и   подбираются так, чтобы при   и   формула давала нужные значения для величин   и  ). В случае кратных корней многочлена дополнительными пробными решениями служат функции     и так далее.

Одним из широко известных рекуррентных соотношений является  , определяющее последовательность Фибоначчи.

Решение функциональных уравненийПравить

Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.

В частности, полезным может оказаться применение понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых  ; простейшие инволюции:

 ,  ,  ,  .

Например, для решения уравнения:

 

для всех   и  , положим  :  . Тогда   и  . Далее, положив  :

 
 
 

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит   для всех   и   является единственным решением этого уравнения.

ЛитератураПравить

  • Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
  • Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
  • Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
  • Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

СсылкиПравить