Функция Гудермана

Фу́нкция Гудерма́на (гудерманиа́н, или гиперболи́ческая амплиту́да[1]) — функция, показывающая связь тригонометрических и гиперболических функций без привлечения комплексных чисел. Названа в честь немецкого математика Кристофа Гудермана. Обозначается или Возникает в задаче отображения плоскости на сферу в картографической проекции Меркатора.

Функция Гудермана с асимптотами , показанными синим цветом

Определение и свойстваПравить

Гудерманиан определяется следующим образом:

 

Основные соотношения, иногда используемые как альтернативные определения:

 

Имеют место также следующие тождества, связывающие через гудерманиан тригонометрические и гиперболические функции:

 
 
 
 
 
 
 

Гудерманиан является нечётной, строго возрастающей функцией, определённой на всей числовой прямой. Его область значений лежит на отрезке (−π/2, π/2). Значения ±π/2 являются асимптотами функции при стремлении её аргумента к  

Используя определение функции Гудермана, можно расширить её область определения на комплексную плоскость. Для комплексного аргумента z = x + iy выполняются тождества:

 
 
 
 

а также

 

Связь гудерманиана и экспоненциальной функции задаётся тождествами:

 

Обратная функцияПравить

 
Функция Ламберта (ламбертиан, антигудерманиан), обратная к функции Гудермана

Обратная функция к функции Гудермана:

 

Она называется антигудерманианом, а также ламбертианом или функцией Ламберта (в честь Иоганна Ламберта), и обозначается также как   или   Её, как и функцию Гудермана, используют в теории построения картографических проекций; она позволяет перейти от географической широты точки на сфере к вертикальной координате образа точки в проекции Меркатора (см. также Интеграл от секанса). Основные тождества для функции Ламберта:

 

Имеют место также следующие тождества, связывающие через ламбертиан тригонометрические и гиперболические функции:

 

Ламбертиан является нечётной, строго возрастающей функцией, определённой на интервале (−π/2, π/2). Её область значений лежит в интервале   Как и функция Гудермана, она может быть обобщена для комплексного аргумента.

Функция Гудермана и функция Ламберта связаны следующим соотношением:

 

откуда вытекают также соотношения

 

Производные, ряды и интегралыПравить

Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана равны соответственно гиперболическому и тригонометрическому секансу:

 
 

Разложение в ряд:

 
 

Коэффициенты разложения гудерманиана и антигудерманиана при членах одинаковой степени совпадают по модулю, однако у членов со степенью 3, 7, 11,... коэффициенты разложения гудерманиана отрицательны, а у обратной функции — положительны.

Интеграл функции Гудермана:

 

где Li2дилогарифм.

Гудерманиан и антигудерманиан, позволяющие легко переходить от гиперболических к тригонометрическим функциям и обратно, используются для аналитического интегрирования методом тригонометрической и гиперболической подстановки.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

ПримечанияПравить

  1. Название «гиперболическая амплитуда» предложено Гуэлем в 1864 году.