Функция Кёнигса

Фу́нкция Кёнигса связана с решением функционального уравнения

$\textstyle F[f(x)]=cF(x),$

где $\textstyle F(x)$ — неизвестная функция, $\textstyle f(x)$ и $\textstyle c$ — данные функция и константа. Обычно это уравнение (без особых исторических оснований) называют уравнением Шрёдера.

Пусть $\textstyle f(x)$ — аналитическая функция, и пусть $\textstyle f(\alpha )=\alpha$, где $\alpha \neq \infty$, причем

$\left|{\frac {df(\alpha )}{dx}}\right|<1$.

Это значит, что $\textstyle \alpha$ является притягивающей неподвижной точкой функции $\textstyle f(x)$. Пусть $\textstyle f^{k}(x)$ есть $\textstyle k$-я итерация функции $\textstyle f(x)$:

$f^{0}(x)=x,~~f^{1}(x)=f(x),~~f^{k}(x)=f(f^{k-1}(x))$ при $k=1,2,3,\ldots$

Для всякого $\textstyle x$, принадлежащего некоторой окрестности точки $\textstyle \alpha$, последовательность итераций ${f^{k}(x)}~(k=0,1,2,\ldots )$ сходится к $\textstyle \alpha$.

Предположив также, что

${\frac {df(\alpha )}{dx}}=c\neq 0,$

можно показать, что в окрестности точки $\textstyle \alpha$ существует предел

$K_{f}(x)=\lim _{k\to \infty }{\frac {f^{k}(x)-\alpha }{[{\frac {df(\alpha )}{dx}}]^{k}}}~,$

который является в этой окрестности аналитической функцией переменной $\textstyle x$ и обладает свойствами

$K_{f}(\alpha )=0,~~{\frac {dK_{f}(\alpha )}{dx}}=1.$

Функция $\textstyle K_{f}(x)$ есть функция Кёнигса. Её ввел в 1884 французский математик Габриэль Кёнигс при исследовании функционального уравнения Шрёдера. Всякое аналитическое в окрестности точки $\textstyle x=\alpha$ решение уравнения Шрёдера, в котором $\textstyle 0<|c|<1$, отличается от $\textstyle K_{f}(x)$ только постоянным множителем.

Впервые в математике функцию Кёнигса по существу вычислял Генри Бригс при составлении таблиц логарифмов. Если

$\textstyle f(x)={\sqrt {x}}$ и $\textstyle c={\frac {1}{2}}$, то решением соответствующего уравнения Шрёдера

$\textstyle F[{\sqrt {x}}]={\frac {1}{2}}F(x)$,

является $\textstyle F(x)=\log _{p}x$ для любого $\textstyle p>0$, так что $\textstyle F(x)=A\log _{10}x$, где $\textstyle A=\log _{p}{10}$ — произвольная константа. Метод вычисления функции $\textstyle \log _{10}x$ у Бриггса есть численная реализация предельного перехода в приведенном выше определении функции Кёнигса. Он был опубликован в 1624 году в книге Бригса «Логарифмическая арифметика».

Литература

• Briggs H. Arithmetica logarithmica. Londini, 1624
• Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М.-Л.: ОНТИ, 1938.
• Koenigs G. Recherches sur les intégrals de certaines équations fontionnelles. Ann. École Normale, Suppl., 1884, (3)1.
• Montel P. Leçons sur les récurrences et leurs applications. Paris, 1957.
• Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25—51.
• Горяйнов В. В. Функция Кёнигса и дробное итерирование вероятностных производящих функций. // Матем. сборник, т. 193 (2002), № 7, с. 69-86.