Открыть главное меню
Функция Минковского

Функция «вопросительный знак» Минковского — построенная Германом Минковским монотонная сингулярная функция на отрезке , обладающая рядом замечательных свойств. Так, она взаимно-однозначно и с сохранением порядка переводит квадратичные иррациональности (то есть, числа вида где и рациональные) на отрезке в рациональные числа на том же отрезке, а рациональные числа — в двоично-рациональные. Она связана с рядами Фарея, цепными дробями, и дробно-линейными преобразованиями, а её график обладает рядом интересных симметрий.

Содержание

ПостроениеПравить

Функция Минковского может быть задана несколькими эквивалентными способами: через ряды Фарея, через цепные дроби, и построением графика с помощью последовательных итераций.

Задание с помощью дерева Штерна — БрокоПравить

В концах отрезка функция Минковского задаётся как   и  . После этого для любых двух рациональных чисел   и  , для которых   — иными словами, для любых двух последовательных в каком-либо из рядов Фарея, — функция в их медианте   определяется как среднее арифметическое значений в этих точках:

 

Так

 
 
 

и так далее.

Поскольку последовательности

 
 
 

в которых следующая получается из предыдущей дописыванием между каждыми соседними её элементами их медианты, перечисляют в объединении все рациональные числа отрезка   (см. дерево Штерна — Броко), такая итеративная процедура задаёт функцию Минковского во всех рациональных точках  . Более того, как несложно видеть, множеством её значений в этих точках оказываются в точности все двоично-рациональные числа   — иными словами, плотное в   множество. Поэтому построенная функция по монотонности однозначно продолжается до непрерывной функции  , и это и есть функция Минковского.

Задание с помощью цепной дробиПравить

Функция Минковского, в определённом смысле, преобразует разложение в цепную дробь в представление в двоичной системе счисления. А именно, точку  , раскладывающуюся в цепную дробь как  , функция Минковского переводит в

 

Иными словами, точка

 

переходит в точку

 

СамоподобиеПравить

Пусть точка   задаётся цепной дробью  . Тогда увеличение   на единицу, то есть, переход к   задаётся отображением

 

а функция Минковского после такого преобразования делится (как это следует из её задания через цепную дробь аргумента) пополам:

 

С другой стороны, из симметрии относительно   медиантной конструкции легко видеть, что

 

Сопрягая (1) с помощью (2), видим, что под действием отображения   функция Минковского преобразуется как

 

Поэтому график функции Минковского переводится в себя каждым из преобразований

 

Более того, объединение их образов — это в точности весь исходный график, поскольку образ   — это часть графика над отрезком  , а образ   — график над отрезком  .

Построение графика как фракталаПравить

График функции Минковского может быть построен как предельное множество для системы итерируемых функций (англ.). А именно, отображения   и  , заданные формулами (3), сохраняют график функции Минковского и переводят единичный квадрат внутрь себя. Поэтому последовательность множеств  , определённая рекурсивно соотношениями

 

есть убывающая по вложению последовательность множеств, причём график   функции Минковского содержится в любом из них.

Несложно увидеть, что   является объединением прямоугольников высоты  , поэтому предельное множество

 

является графиком некоторой функции. Поскольку  , то они совпадают. Поэтому график функции Минковского это предельное множество системы итерируемых функций

 

СвойстваПравить

  • Функция Минковского сингулярна, то есть в почти любой (по мере Лебега) точке   её производная существует и равна нулю. Тем самым, мера на  , функцией распределения которой является функция Минковского (продолженная нулём на отрицательные числа и единицей на большие единицы), сингулярна.
  • Функция Минковского взаимно однозначно переводит рациональные числа на отрезке   в двоично-рациональные числа на том же отрезке.
  • Функция Минковского взаимно однозначно переводит квадратичные иррациональности на отрезке   в рациональные числа на том же отрезке. Действительно, число   является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда его разложение в цепную дробь, начиная с некоторого момента, периодично; с другой стороны, эта периодичность равносильна периодичности двоичной записи образа — иными словами, рациональности  .
  • График функции Минковского переводится в себя отображениями   и  , заданными (3), а, следовательно, и их композициями.

ЛитератураПравить

  • Minkowski H. Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg. — Berlin, 1904.
  • Denjoy A. Sur une fonction réelle de Minkowski. — Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1938. — 17. — pp. 105—151.
  • Conley, R. M. (2003), A Survey of the Minkowski ?(x) Function, Masters thesis, West Virginia University , ссылка.
  • Conway, J. H. (2000), "Contorted fractions", On Numbers and Games (2nd ed.), Wellesley, MA: A K Peters, с. 82—86 .
  • Кириллов А. А. Повесть о двух фракталах. — М.: МЦНМО, 2009.

См. такжеПравить

СсылкиПравить