Открыть главное меню
Линии уровня у морсовской функции на торе с четырьмя критическими точками

Функция Морсагладкая функция на многообразии, имеющая невырожденные критические точки.

Функции Морса возникают и используются в теории Морса, одном из основных инструментов дифференциальной топологии.

ОпределениеПравить

Пусть   ― гладкое многообразие, край которого   является дизъюнктным объединением (возможно, пустых) многообразий   и  . Функция Морса триады   ― такая гладкая класса   функция  ,   (или  ) при  , что:

  1.  
  2. все критические точки функции   лежат в   и невырождены.

СвойстваПравить

  • Если многообразие   конечномерно, то для   множество функций Морса достигает минимума (глобального) на каждой компоненте связности.
  • В пространстве всех  -гладких ( ) функций
     
множество функций Морса является плотным открытым множеством[1].

Вариации и обобщенияПравить

Функции Морса естественно обобщаются на гладкие гильбертовы полные (относительно некоторого метрического тензора) многообразия. При этом требуется дополнительное условие:

  • (условие Пале ― Смейла) на любом замкнутом множестве  , где функция   ограничена, а нижняя грань функции   равна нулю, существует критическая точка функции  .

Это условие автоматически выполняется в конечномерном случае.

В этом случае множество функций Морса не образует открытого множества, но является множеством 2-й категории Бэра

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. V. Guillemin, A. Pollack, Differential topology — Prentice-Hall, New York, NY, 1974.