Функция ошибок

Функция ошибок (также называемая функция ошибок Гаусса) — неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как

График функции ошибок
.

Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение ), определяется через функцию ошибок:

.

Комплексная функция ошибок, обозначаемая , также определяется через функцию ошибок:

.

Свойства править

 
  • Для любого комплексного   выполняется
 
где черта обозначает комплексное сопряжение числа  .
  • Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:
 
Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного  , так и на всей комплексной плоскости, согласно признаку Д’Аламбера. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.
  • Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:
 
поскольку   — сомножитель, превращающий  -й член ряда в  -й, считая первым членом  .
  • Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:
  • При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка   будет для неё существенно особой.
  • Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции; она равна удвоенной функции Гаусса с медианой μ = 0 и стандартным отклонением σ = 12:
 
 


  • Обратная функция ошибок представляет собой ряд
 
где c0 = 1 и
 
Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):
 [1]
Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.
 
Дополнительная функция ошибок

Применение править

Если набор случайных величин подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением  , то вероятность, что величина отклонится от среднего не более чем на  , равна  .

Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с начальными условиями, описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).

В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.

Асимптотическое разложение править

При больших   полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:

 

Хотя для любого конечного   этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления   с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.

Другое приближение даётся формулой

 

где

 

Аппроксимации править

Аппроксимация дополнительной функции ошибок, имеющая относительную погрешность в пределах 1.2×10-7, реализована в Numerical Recipes[en][1]:

 

где   при  , и   при  . При   эта формула даёт недопустимые значения выше единицы, поэтому её нельзя использовать для оценки функции   при малых x.

Аппроксимация функции ошибок даётся формулой[2]

 

где  . Относительная погрешность этой аппроксимации не превосходит  , а обратная к ней функция выражается аналитически[2]:

 

Относительная погрешность последней формулы лежит в пределах до 0.002 для всех ненулевых значений  .

Родственные функции править

С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с функцией Лапласафункцией нормального интегрального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, обозначаемой  

 

Обратная функция к  , известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается   и выражается через нормальную функцию ошибок как

 

Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):

 

Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,

 

Обобщённые функции ошибок править

 
График обобщённых функций ошибок  :
серая линия:  
красная линия:  
зелёная линия:  
синяя линия:  
жёлтая линия:  .

Некоторые авторы обсуждают более общие функции

 

Примечательными частными случаями являются:

  •   — прямая линия, проходящая через начало координат:  
  •   — функция ошибок  .

После деления на   все   с нечётными   выглядят похоже (но не идентично), это же можно сказать про   с чётными  . Все обобщённые функции ошибок с   выглядят похоже на полуоси  .

На полуоси   все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:

 

Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:

 

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок править

Повторные интегралы   дополнительной функции ошибок определяются как[3]

 ,
  для  .

Их можно разложить в ряд:

 

откуда следуют свойства симметрии

 

и

 

Реализации править

В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, пункт 7.12.8) предусмотрены функция ошибок   и дополнительная функция ошибок  . Функции объявлены в заголовочных файлах math.h (для Си) или cmath (для C++). Там же объявлены пары функций erff(), erfcf() и erfl(), erfcl(). Первая пара получает и возвращает значения типа float, а вторая — значения типа long double. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта «Boost».

В языке Java стандартная библиотека математических функций java.lang.Math не содержит[4] функцию ошибок. Класс Erf можно найти в пакете org.apache.commons.math.special из не стандартной библиотеки, поставляемой[5] Apache Software Foundation.

Системы компьютерной алгебры Maple[2], Matlab[3], Mathematica и Maxima[4] содержат обычную и дополнительную функции ошибок, а также обратные к ним функции.

В языке Python функция ошибок доступна[6] из стандартной библиотеки math, начиная с версии 2.7. Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле Special проекта SciPy[5].

В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math[7].

В Excel функция ошибок представлена, как ФОШ и ФОШ.ТОЧН[8]

См. также править

Примечания править

  1. Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes in Fortran 77. The Art of Scientific Computing (англ.). — 2nd ed.. — Cambridge: Cambridge University Press, 1992. — 963 p. — ISBN 0-521-43064-X. — §6.2.
  2. 1 2 Winitzki S. A handy approximation for the error function and its inverse (англ.). — 2008.
  3. Carslaw, H. S.; Jaeger, J. C. (1959), Conduction of Heat in Solids (2nd ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9, p 484
  4. Math (Java Platform SE 6). Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано 29 августа 2009 года.
  5. Архивированная копия. Дата обращения: 28 марта 2008. Архивировано из оригинала 9 апреля 2008 года.
  6. 9.2. math — Mathematical functions — Python 2.7.10rc0 documentation
  7. Язык Erlang. Описание Архивная копия от 20 июня 2012 на Wayback Machine функций стандартного модуля math.
  8. Функция ФОШ. support.microsoft.com. Дата обращения: 15 ноября 2021. Архивировано 15 ноября 2021 года.

Литература править

Ссылки править