Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. В одномерном случае функция распределения — это вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , где — произвольное действительное число[1][2][3][4][5].

Функции распределения гауссовых случайных величин.

Определение

править

Пусть дано вероятностное пространство  , и на нём определена случайная величина   с распределением  . Тогда функцией распределения случайной величины   называется функция  , задаваемая формулой[1][2][3][4][5]:

 .

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины   называют функцию  , значение которой в точке   равно вероятности события  , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых  .

Свойства

править
  •   непрерывна слева[6]:
     
  •   не убывает на всей числовой прямой.
  •  .
  •  .

Если функция   удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что   является её функцией распределения[6].

Функция   была бы непрерывна справа[6]:

 ,

если бы определение функции распределения было бы следующее:

 .

Такое определение функции распределения используется реже[3][7], например у математика Ширяева А. Н.[8]

Тождества

править

Из свойств вероятности следует, что  , таких что  [2][5]:

  •  ;
  •  ;

Дискретные распределения

править

Если случайная величина   дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности:

 ,

то функция распределения   этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

 .

Эта функция непрерывна во всех точках  , таких что  , и имеет разрыв первого рода в точках  .

Непрерывные распределения

править

Распределение   называется непрерывным, если такова его функция распределения  . В этом случае:

 ,

и

 ,

а следовательно формулы имеют вид:

 ,

где   означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный[9].

Абсолютно непрерывные распределения

править

Распределение   называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду функция  , такая что:

 .

Функция   называется плотностью распределения. Известно, что функция распределения абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если  , то  , и

 .

Вариации и обобщения

править

Многомерные функции распределения

править

Пусть   фиксированное вероятностное пространство, и   — случайный вектор. Тогда распределение  , называемое распределением случайного вектора   или совместным распределением случайных величин  , является вероятностной мерой на  . Функция этого распределения   задаётся по определению следующим образом:

 ,

где   в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на   и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для  .

См. также

править

Примечания

править
  1. 1 2 Вентцель Е. С. Теория вероятностей. 2001. — С. 73.
  2. 1 2 3 Боровков А. А. Теория вероятностей, 1999. — С. 37.
  3. 1 2 3 Математическая энциклопедия. 1984, Том 4. — С. 883.
  4. 1 2 Encyclopedia of Mathematics. Distribution function.
  5. 1 2 3 Тихонов В. И. Статистическая радиотехника, 1982.— С. 21.
  6. 1 2 3 Боровков А. А. Теория вероятностей, 1999. — С. 39.
  7. Распределение вероятностей. Большая российская энциклопедия.
  8. Ширяев, А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980. — С. 45, 166.
  9. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам, 2008. — С. 66.