Функция распределения

Не следует путать с Функция распределения (статистическая физика).

Функции распределения

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, и на нём определена случайная величина $X$ с распределением $\mathbb {P} ^{X}$. Тогда функцией распределения случайной величины $X$ называется функция $F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]$, задаваемая формулой:

$F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x]\right)$.

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины $X$ называют функцию $F(x)$, значение которой в точке $x$ равно вероятности события $\{X\leqslant x\}$, то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых $X(\omega )\leqslant x$.

Свойства

• $F_{X}$ непрерывна справа:

  $\lim \limits _{\varepsilon \to 0+}F_{X}(x+\varepsilon )=F_{X}(x)$

• $F_{X}$ не убывает на всей числовой прямой.
• $\lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$.
• $\lim \limits _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1$.

• Распределение случайной величины $\mathbb {P} ^{X}$ однозначно определяет функцию распределения.
  • Верно и обратное: если функция $F(x)$ удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что $F(x)$ является её функцией распределения.

• По определению непрерывности справа, функция $F_{X}$ имеет правый предел $F_{X}(x+)$ в любой точке $x\in \mathbb {R}$, и он совпадает со значением функции $F_{X}(x)$ в этой точке.
  • В силу неубывания, функция $F_{X}$ также имеет и левый предел $F_{X}(x-)$ в любой точке $x\in \mathbb {R}$, который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция $F_{X}$ либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Тождества

Из свойств вероятности следует, что $\forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R}$, таких что $a<b$:

• $\mathbb {P} (X>x)=1-F_{X}(x)$;
• $\mathbb {P} (X<x)=F_{X}(x-)$;
• $\mathbb {P} (X\geqslant x)=1-F_{X}(x-)$;
• $\mathbb {P} (X=x)=F_{X}(x)-F_{X}(x-)$;
• $\mathbb {P} (a<X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$;
• $\mathbb {P} (a\leqslant X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a-)$;
• $\mathbb {P} (a<X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a)$;
• $\mathbb {P} (a\leqslant X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a-)$;

Дискретные распределения

Если случайная величина $X$ дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

$\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots$,

то функция распределения $F_{X}$ этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

$F_{X}(x)=\sum \limits _{i\colon x_{i}\leqslant x}p_{i}$.

Эта функция непрерывна во всех точках $x\in \mathbb {R}$, таких что $x\not =x_{i},\;\forall i$, и имеет разрыв первого рода в точках $x=x_{i},\;\forall i$.

Непрерывные распределения

Распределение $\mathbb {P} ^{X}$ называется непрерывным, если такова его функция распределения $F_{X}$. В этом случае:

$\mathbb {P} (X=x)=0,\;\forall x\in \mathbb {R}$,

и

$F_{X}(x-0)=F_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R}$,

а следовательно формулы имеют вид:

$\mathbb {P} (X\in |a,b|)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$,

где $|a,b|$ означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения

Распределение $\mathbb {P} ^{X}$ называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция $f_{X}(x)$, такая что:

$F_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!f_{X}(t)\,dt$.

Функция $f_{X}$ называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если $f_{X}\in C(\mathbb {R} )$, то $F_{X}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$, и

${\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R}$.

Вариации и обобщения

Иногда в российской литературе берётся такое определение функции распределения:

$F_{X}(x)=\mathbb {P} (X<x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x)\right)$.

Определённая так функция распределения будет непрерывна слева, а не справа.

Многомерные функции распределения

Пусть $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ фиксированное вероятностное пространство, и $X=(X_{1},\ldots ,X_{n})\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{N}$ — случайный вектор. Тогда распределение $\mathbb {P} ^{X}$, называемое распределением случайного вектора $X$ или совместным распределением случайных величин $X_{1},\ldots ,X_{n}$, является вероятностной мерой на $\mathbb {R} ^{n}$. Функция этого распределения $F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ задаётся по определению следующим образом:

$F_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathbb {P} (X_{1}\leqslant x_{1},\ldots ,X_{n}\leqslant x_{n})\equiv \mathbb {P} ^{X}\left(\prod \limits _{i=1}^{n}(-\infty ,x_{i}]\right)$,

где $\prod$ в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на $\mathbb {R} ^{n}$ и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для $n>1$.

См. также

• Плотность вероятности