Открыть главное меню

Функция распределения

Функции распределения

Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора; вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее или равное х, где х — произвольное действительное число. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

ОпределениеПравить

Пусть дано вероятностное пространство  , и на нём определена случайная величина   с распределением  . Тогда функцией распределения случайной величины   называется функция  , задаваемая формулой:

 .

То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины   называют функцию  , значение которой в точке   равно вероятности события  , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых  .

СвойстваПравить

  •   непрерывна справа[1]:
     
  •   не убывает на всей числовой прямой.
  •  .
  •  .
  • Распределение случайной величины   однозначно определяет функцию распределения.
    • Верно и обратное: если функция   удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что   является её функцией распределения.
  • По определению непрерывности справа, функция   имеет правый предел   в любой точке  , и он совпадает со значением функции   в этой точке.
    • В силу неубывания, функция   также имеет и левый предел   в любой точке  , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция   либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

ТождестваПравить

Из свойств вероятности следует, что  , таких что  :

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;

Дискретные распределенияПравить

Если случайная величина   дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

 ,

то функция распределения   этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

 .

Эта функция непрерывна во всех точках  , таких что  , и имеет разрыв первого рода в точках  .

Непрерывные распределенияПравить

Распределение   называется непрерывным, если такова его функция распределения  . В этом случае:

 ,

и

 ,

а следовательно формулы имеют вид:

 ,

где   означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределенияПравить

Распределение   называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция  , такая что:

 .

Функция   называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если  , то  , и

 .

Вариации и обобщенияПравить

Иногда в российской литературе берётся такое определение функции распределения:

 .

Определённая так функция распределения будет непрерывна слева, а не справа.

Многомерные функции распределенияПравить

Пусть   фиксированное вероятностное пространство, и   — случайный вектор. Тогда распределение  , называемое распределением случайного вектора   или совместным распределением случайных величин  , является вероятностной мерой на  . Функция этого распределения   задаётся по определению следующим образом:

 ,

где   в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на   и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Ширяев, А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980. — С. 45, 166.