Функция распределения
Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. В одномерном случае функция распределения — это вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее , где — произвольное действительное число[1][2][3][4][5].

Определение
правитьПусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины называется функция , задаваемая формулой[1][2][3][4][5]:
- .
То есть функцией распределения (вероятностей) случайной величины называют функцию , значение которой в точке равно вероятности события , то есть события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .
Свойства
править- непрерывна слева[6]:
- не убывает на всей числовой прямой.
- .
- .
Если функция удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что является её функцией распределения[6].
Функция была бы непрерывна справа[6]:
- ,
если бы определение функции распределения было бы следующее:
- .
Такое определение функции распределения используется реже[3][7], например у математика Ширяева А. Н.[8]
Тождества
правитьИз свойств вероятности следует, что , таких что [2][5]:
- ;
- ;
Дискретные распределения
правитьЕсли случайная величина дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности:
- ,
то функция распределения этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:
- .
Эта функция непрерывна во всех точках , таких что , и имеет разрыв первого рода в точках .
Непрерывные распределения
правитьРаспределение называется непрерывным, если такова его функция распределения . В этом случае:
- ,
и
- ,
а следовательно формулы имеют вид:
- ,
где означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный[9].
Абсолютно непрерывные распределения
правитьРаспределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду функция , такая что:
- .
Функция называется плотностью распределения. Известно, что функция распределения абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если , то , и
- .
Вариации и обобщения
правитьМногомерные функции распределения
правитьПусть фиксированное вероятностное пространство, и — случайный вектор. Тогда распределение , называемое распределением случайного вектора или совместным распределением случайных величин , является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:
- ,
где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.
Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для .
См. также
правитьПримечания
править- ↑ 1 2 Вентцель Е. С. Теория вероятностей. 2001. — С. 73.
- ↑ 1 2 3 Боровков А. А. Теория вероятностей, 1999. — С. 37.
- ↑ 1 2 3 Математическая энциклопедия. 1984, Том 4. — С. 883.
- ↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics. Distribution function.
- ↑ 1 2 3 Тихонов В. И. Статистическая радиотехника, 1982.— С. 21.
- ↑ 1 2 3 Боровков А. А. Теория вероятностей, 1999. — С. 39.
- ↑ Распределение вероятностей. Большая российская энциклопедия.
- ↑ Ширяев, А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980. — С. 45, 166.
- ↑ Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам, 2008. — С. 66.