Открыть главное меню

sgn

(перенаправлено с «Функция sgn(x)»)
График функции y = sgn x

sgn (сигнум, от лат. signum — знак) — кусочно-постоянная функция действительного аргумента. Обозначается . Определяется следующим образом:

Функция не является элементарной.

Часто используется представление

При этом производная модуля в нуле, которая, строго говоря, не определена, доопределяется средним арифметическим соответствующих производных слева и справа.

Функция применяется в теории обработки сигналов, в математической статистике и других разделах математики, где требуется компактная запись для индикации знака числа.

Содержание

История и обозначенияПравить

Функцию   ввёл Леопольд Кронекер в 1878 году, сначала он обозначал её иначе:  . В 1884 году Кронекеру понадобилось в одной статье использовать, наряду с  , функцию «целая часть», которая также обозначалась квадратными скобками. Во избежание путаницы Кронекер ввёл обозначение  , которое (за вычетом точки перед аргументом) и закрепилось в науке. Иногда функцию обозначают как  .

Свойства функцииПравить

  • Область определения:  .
  • Область значений:  .
  • Гладкая во всех точках, кроме нуля.
  • Функция нечётна.
  • Точка   является точкой разрыва первого рода, так как пределы справа и слева от нуля равны   и   соответственно.
  •   и   для  . Иначе говоря,
  при  .
  •  , где   — дельта-функция Дирака.
  •  .
  •  .

Обобщения функции для комплексного аргументаПравить

  • Представление
 

даёт одно из возможных обобщений функции сигнум на множество комплексных чисел. При этом  , где  аргумент комплексного числа  . При   результатом функции   является точка единичной окружности, ближайшая к числу  . Смысл данного обобщения заключается в том, чтобы посредством радиус-вектора единичной длины показать направление на комплексной плоскости, отвечающее числу  . Это же направление в полярных координатах задаёт угол  . Неопределённое направление, отвечающее числу  , выражается нулевым значением функции. Например, таким образом функция signum определена в стандартной библиотеке комплексных чисел в языке Haskell[1].

  • Другой вариант обобщения функции, обозначаемый как  , определяется следующим образом:
 

Данное обобщение используется, например, в приложениях Mathcad и Maple[2].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Simon Peyton Jones (editor) et al. 13. Complex Numbers // Haskell 98 Language and Libraries : The Revised Report. — 2002.
  2. Maple V documentation. May 21, 1998

ЛитератураПравить

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — М.: Наука, 1964. — 608 с.
  • Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные математические формулы. Справочник. — Минск: Вышэйшая школа, 1988. — 269 с.