Открыть главное меню

Характеристика (алгебра)

(перенаправлено с «Характеристика поля»)

Характеристика (кольца или поля) — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств этих алгебраических структур.

ОпределениеПравить

Пусть   — произвольное кольцо. Если существует такое целое положительное число  , что для каждого элемента   выполняется равенство

 ,

то наименьшее из таких чисел   называется характеристикой кольца   и обозначается символом  . При этом кольцо   называется кольцом положительной характеристики  .

Если же таких чисел   не существует, то полагают   и называют   кольцом характеристики нуль.

При наличии единицы в кольце  , определение несколько упрощается. В этом случае характеристику обычно определяют как наименьшее ненулевое натуральное число   такое что   если же такого   не существует, то характеристика равна нулю.

ПримерыПравить

СвойстваПравить

  • Тривиальное кольцо с единственным элементом   — единственное кольцо с характеристикой  .
  • Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику  , то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля   есть либо  , либо простое число  . В первом случае поле   содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел  , во втором случае поле   содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов  . В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в  ).
  • Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в   и алгебраическое замыкание поля  .
  • Если   — коммутативное кольцо простой характеристики  , то   для всех  ,  . Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.

ЛитератураПравить

  • Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.