Характеристический многочлен матрицы

Характеристический многочлен матрицы — многочлен, определяющий её собственные значения.

ОпределениеПравить

Для данной матрицы  ,  , где   — единичная матрица, является многочленом от  , который называется характеристическим многочленом матрицы   (иногда также «вековым уравнением» (англ. secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение   имеет ненулевое решение, то  , значит матрица   вырождена и её определитель   равен нулю.

Связанные определенияПравить

  • Матрицу   называют характеристической матрицей матрицы  .
  • Уравнение   называют характеристическим уравнением матрицы  .
  • Характеристический многочлен графа — это характеристический многочлен его матрицы смежности.

СвойстваПравить

  • Для матрицы   характеристический многочлен имеет степень  .
  • Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
  • Теорема Гамильтона — Кэли: если   — характеристический многочлен матрицы  , то  .
  • Характеристические многочлены подобных матриц совпадают:  .
  • Характеристический многочлен обратной матрицы:  .

Доказательство:

 

  • Если   и   — две матрицы  , то  . В частности, отсюда вытекает, что след их произведения   и  .
  • В более общем виде, если   — матрица  , а   — матрица  , причем  , так, что   и   — квадратные матрицы размеров   и   соответственно, то:
 .

СсылкиПравить