Характер представления группы

Характер представления группы — функция на группе, возвращающая след (сумму диагональных элементов) матрицы, соответствующей данному элементу в представлении[1][2].

Обычно обозначаются буквой [3].

Изучением представлений через их характеры занимается теория характеров.

ОпределениеПравить

Если   — конечномерное представление группы  , то характер этого представления — это функция из   во множество комплексных чисел, заданная следом линейного преобразования, соответствующего элементу  . Вообще говоря, след не является гомоморфизмом, а множество следов не образует группы.

СвойстваПравить

  • Характеры эквивалентных представлений совпадают[2].
  • Изоморфные представления имеют одинаковые характеры[4].
  • Характеры неприводимых не изоморфных между собой представлений конечной группы образуют ортонормированную систему функций[2][5].
  • Скалярный квадрат характера неприводимого представления равен единице[2].
  • Характер приводимого представления равен сумме характеров всех неприводимых представлений, которые в нем встречаются[2][4].
  • Два представления, имеющие одинаковые характеры, эквивалентны[2][6].
  • Если представление приводимо, то скалярный квадрат его характера больше единицы[7].
  • У взаимно-сопряжённых элементов группы   и   характеры равны[7].
  • Совокупность характеров всех неприводимых представлений является полной в линейном пространстве функций, определённых на классах сопряжённых элементов[7].
  • Для любого элемента группы    [8].
  • Для того, чтобы представление было неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы скалярный квадрат его характера был равен  [9].

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Любарский Г. Я. Теория групп и её применение в физике. — М.: Наука, 1958. — 354 с.
  • Ван дер Варден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 200 с.
  • Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. — М.: Наука, 1975. — 407 с.