Характер (теория чисел)

Характер (или числовой характер, или характер Дирихле), это определённая арифметическая функция, которая возникает из вполне мультипликативных[en] характеров на обратимых элементах . Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством

где sкомплексное число с вещественной частью > 1. Путём аналитического продолжения эта функция может быть продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. L-функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и заметно проявляются в обобщённых гипотезах Римана.

Характеры Дирихле названы в честь Петера Густава Лежёна Дирихле.

Аксиоматическое определениеПравить

Характер Дирихле — это любая функция   на множестве целых чисел   в комплексные числа  , такая что   имеет следующие свойства[1]:

  1. Существует положительное целое число k, такое что   для любых n.
  2. Если n и k не взаимно просты, то  ; если же они взаимно просты,  .
  3.   для любых целых m и n.

Из этого определения можно вывести некоторые другие свойства. Согласно свойству 3)  . Поскольку НОД(1, k) = 1, свойство 2) гласит, что  , так что

  1.  .

Свойства 3) и 4) показывают, что любой характер Дирихле   является вполне мультипликативным[en] характером.

Свойство 1) говорит, что характер является периодической функцией с периодом k. Мы говорим, что   является характером по модулю k. Это эквивалентно утверждению, что

  1. если  , то  .

Если НОД(a,k) = 1, теорема Эйлера утверждает, что   (где   является функцией Эйлера). Таким образом, согласно свойствам 5) и 4)  , а по свойству 3)  . Так что имеем

  1. Для всех a, взаимно простых с k,   является  -ым комплексным корнем из единицы,

то есть   для некоторого целого  .

Единственный характер с периодом 1 называется тривиальным характером. Заметим, что любой характер обращается в 0 в точке 0, за исключением тривиального, который равен 1 для всех целых чисел.

  • Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с  , называется главным:
     [2].
    • В группе характеров по модулю   он играет роль единицы.

Характер называется вещественным, если он принимает только вещественные значения. Характер, не являющийся вещественным, называется комплексным[3]

Знак характера   зависит от его значения в точке −1. Говорят, что   нечётный, если  , и чётный, если  .

Построение через классы вычетовПравить

Характеры Дирихле могут рассматриваться в терминах группы характеров[en] группы обратимых элементов кольца   как расширенные характеры классов вычетов[4].

Классы вычетовПравить

Если дано целое число k, можно определить класс вычета целого числа n как множество всех целых чисел, сравнимых с n по модулю k:   То есть класс вычетов   является классом смежности n в факторкольце  .

Множество обратимых элементов по модулю k образует абелеву группу порядка  , где умножение в группе задаётся равенством  , а   снова означает функцию Эйлера. Единицей в этой группе служит класс вычетов  , а обратным элементом для   является класс вычетов  , где  , то есть  . Например, для k=6 множеством обратимых элементов является  , поскольку 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6.

Группа характеров   состоит из характеров классов вычетов. Характер класса вычетов   на   примитивен, если нет собственного делителя d для k, такого что   факторизуются как  [5].

Характеры ДирихлеПравить

Определение характера Дирихле по модулю k обеспечивает, чтобы он был ограничен характером[en] группы обратимых элементов по модулю k[6]: группа гомоморфизмов   из   в ненулевые комплексные числа

 ,

со значениями, которые обязательно будут корнями из единицы, поскольку обратимые элементы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, если дана группа гомоморфизмов   на группе обратимых элементов по модулю k, мы можем поднять[en] до вполне мультипликативной[en] функции на целых числах, взаимно простых с k, а затем расширить эту функцию на все целые числа путём присвоения значения 0 на всех целых числах, имеющих нетривиальные делители, общие с k. Получающаяся функция будет тогда характером Дирихле[7].

Главный характер   по модулю k имеет свойства [7]

  при НОД(n, k) = 1 и
  при НОД(n, k) > 1.

Ассоциированный характер мультипликативной группе   является главным характером, который всегда принимает значение 1[8].

Когда k равен 1, главный характер по модулю k равен 1 на всех целых чисел. Для k, большего 1, главные характеры по модулю k обращаются в нуль в целых числах, имеющих ненулевые общие множители с k, и равно 1 на других целых числах.

Имеется   характеров Дирихле по модулю n[7].


ПримерыПравить

  • Для любого нечётного модуля   символ Якоби   является характером по модулю  .
  • Степенной вычет степени выше 2 — это невещественный характер.

Некоторые таблицы характеровПравить

Таблицы ниже помогают иллюстрировать природу характеров Дирихле. Они представляют характеры по модулю от 1 до 10. Характеры   являются главными характерами.

По модулю 1Править

Существует   характер по модулю 1:

    0  
  1

Это тривиальный характер.

По модулю 2Править

Существует   характер по модулю 2:

    0     1  
  0 1

Заметим, что   полностью определяется значением  , поскольку 1 порождает группу обратимых элементов по модулю 2.

По модулю 3Править

Есть   характера по модулю 3:

    0     1     2  
  0 1 1
  0 1 −1

Заметим, что   полностью определяется значением  , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 3.

По модулю 4Править

Существует   характера по модулю 4:

    0     1     2     3  
  0 1 0 1
  0 1 0 −1

Заметим, что   полностью определяется значением  , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 4.

L-ряд Дирихле для   равен лямбда-функции Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле)

 ,

где   является дзета-функцией Римана. L-ряд для   является бета-функцией Дирихле

 

По модулю 5Править

Существует   характеров по модулю 5. В таблицах i является квадратным корнем из  .

    0     1     2     3     4  
  0 1 1 1 1
  0 1 i −i −1
  0 1 −1 −1 1
  0 1 i i −1

Заметим, что   полностью определяется значение  , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 5.

По модулю 6Править

Существует   характеров по модулю 6:

    0     1     2     3     4     5  
  0 1 0 0 0 1
  0 1 0 0 0 −1

Заметим, что   полностью определяется значением , поскольку 5 порождает группу обратимых элементов по модулю 6.

По модулю 7Править

Существует   характеров по модулю 7. В таблице ниже  

    0     1     2     3     4     5     6  
  0 1 1 1 1 1 1
  0 1         −1
  0 1         1
  0 1 1 −1 1 −1 −1
  0 1         1
  0 1         −1

Заметим, что   полностью определяется значением  , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 7.

По модулю 8Править

Существует   характеров по модулю 8.

    0     1     2     3     4     5     6     7  
  0 1 0 1 0 1 0 1
  0 1 0 1 0 −1 0 −1
  0 1 0 −1 0 1 0 −1
  0 1 0 −1 0 −1 0 1

Заметим, что   полностью определяется значениями   и  , поскольку 3 и 5 порождают группу обратимых элементов по модулю 8.

По модулю 9Править

Существует   характеров по модулю 9. В таблице ниже  

    0     1     2     3     4     5     6     7     8  
  0 1 1 0 1 1 0 1 1
  0 1   0     0   −1
  0 1   0     0   1
  0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1
  0 1   0     0   1
  0 1   0     0   −1

Заметим, что   полностью определяется значением , поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 9.

По модулю 10Править

Существует   характеров по модулю 10.

    0     1     2     3     4     5     6     7     8     9  
  0 1 0 1 0 0 0 1 0 1
  0 1 0 i 0 0 0 i 0 −1
  0 1 0 −1 0 0 0 −1 0 1
  0 1 0 i 0 0 0 i 0 −1

Заметим, что   полностью определяется значением  , поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 10.

ПримерыПравить

Если p является нечётным простым числом, то функция

  где   является символом Лежандра, является примитивным характером Дирихле по модулю p[9].

Более обще, если m является положительным нечётным числом, функция

  где   является символом Якоби, является характером Дирихле по модулю m[9].

Это квадратичные характеры — в общем случае примитивные квадратичные характеры возникают в точности из cимвола Кронекера — Якоби[10].

Примитивные характеры и кондукторПравить

При переходе от вычетов по модулю N к вычетам по модулю M для любого множителя M числа N происходит потеря информации. Эффект характеров Дирихле дает противоположный результат – если   является характером по модулю M, он индуцирует характер   по модулю N для любого N, кратного M. Характер является примитивным, если он не индуцируется каким-либо характером по меньшему модулю[3].

Если   – характер по модулю n и d делит n, мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для  , если   для всех a, взаимно простых с n и 1 mod d[11]: характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуля[12].

Мы можем это формализовать различным образом путём определения характеров   и   как согласованных, если для некоторого модуля N, такого что N1 и N2 оба делят N, мы имеем   для всех n взаимно простых с N, то есть существует некоторый характер  , порождённый как  , так и  . Это отношение эквивалентности на характерах. Характер с наименьшим модулем в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является кондуктором характеров в классе.

Непримитивность характеров может привести к отсутствию эйлеровых множителей[en] в их L-функциях.

Ортогональность характеровПравить

Ортогональность характеров конечной группы переносится на характеры Дирихле[13].

Если мы зафиксируем характер   по модулю n, то

 ,

если   не главный характер, иначе сумма равна  .

Аналогично, если зафиксировать класс вычетов a по модулю n, то сумма по всем характерам даёт

 ,

кроме случая a=1, когда сумма равна  .

Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом n над классом вычетов, взаимно простых с n, является линейной комбинацией характеров Дирихле[14].

ИсторияПравить

Характеры Дирихле вместе с их  -рядами были введены Дирихле в 1831 году, в рамках доказательства теоремы Дирихле о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для   и в основном когда   стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено Риманом в 1859 году.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Apostol T. M. Introduction to analytic number theory. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90163-3.
  • Apostol T. M. Some properties of completely multiplicative arithmetical functions // The American Mathematical Monthly. — 1971. — Т. 78, вып. 3. — С. 266–271. — doi:10.2307/2317522.
  • Harold Davenport. Multiplicative number theory. — Chicago: Markham, 1967. — Т. 1. — (Lectures in advanced mathematics).
    • Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: «Наука», 1971.
  • Helmut Hasse. Vorlesungen über Zahlentheorie. — 2nd revised. — Springer-Verlag. — Т. 59. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen). см. главу 13.
    • Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: Иностранной литературы, 1953.
  • Mathar, R. J. (2010), Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli, arΧiv:1008.2547 [math.NT] 
  • Hugh L Montgomery, Robert C. Vaughan. Multiplicative number theory. I. Classical theory. — Cambridge University Press, 2007. — Т. 97. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 0-521-84903-9.
    • Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: «Мир», 1974.
  • Robert Spira. Calculation of Dirichlet L-Functions // Mathematics of Computation. — 1969. — Т. 23, вып. 107. — С. 489–497. — doi:10.1090/S0025-5718-1969-0247742-X.
  • Fröhlich A., Taylor M.J. Algebraic number theory. — Cambridge University Press, 1991. — Т. 27. — (Cambridge studies in advanced mathematics). — ISBN 0-521-36664-X.

ЛитератураПравить

  • Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
  • Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.