Открыть главное меню

Размерность Хаусдорфа или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Содержание

ОпределениеПравить

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть   — ограниченное множество в метрическом пространстве  .

 -покрытияПравить

Пусть  . Не более чем счётный набор   подмножеств пространства   будем называть  -покрытием множества  , если выполнены следующие два свойства:

  •  
  • для любого  :   (здесь и далее   означает диаметр множества  ).

 -мера ХаусдорфаПравить

Пусть  . Пусть   — покрытие множества  . Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия:  .

Обозначим через   «минимальный размер»  -покрытия множества  :  , где инфимум берётся по всем  -покрытиям множества  .

Очевидно, что функция   (нестрого) возрастает при уменьшении  , поскольку при уменьшении   мы только сжимаем множество возможных  -покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при  :

 .

Величина   называется  -мерой Хаусдорфа множества  .

Свойства  -меры ХаусдорфаПравить

  •  -мера Хаусдорфа является борелевской мерой на  .
  • с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью;  -мера Хаусдорфа множеств в   совпадает с их  -мерным объёмом.
  •   убывает по  . Более того, для любого множества   существует[1][2][3] критическое значение  , такое, что:
    •   для всех  
    •   для всех  

Значение   может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности ХаусдорфаПравить

Размерностью Хаусдорфа   множества   называется число   из предыдущего пункта.

ПримерыПравить

Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на   частей, подобных исходному множеству с коэффициентами  , то его размерность   является решением уравнения  . Например,

  • размерность множества Кантора равна   (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3),
  • размерность треугольника Серпинского —   (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2),
  • размерность кривой дракона —   (разбивается на 2 части, коэффициент подобия  ).

СвойстваПравить

  • Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
  • Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна максимуму из их размерностей.
  • Для произвольных метрических пространств   и   выполняется соотношение
     
    • Для некоторых пар   и   неравенство строгое, более того такую пару можно выбрать из компактных подмножеств вещественной прямой.[4]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Доказательство в Pertti Mattila, «Geometry of sets and measures in Euclidian Spaces», 1995 — теорема 4.7
  2. (Springer) Encyclopedia of Mathematics — отсылка к Mattila
  3. Доказательство в Kenneth Falconer, «Fractal Geometry» (второе издание), 2003 — стр. 31
  4. Example 7.8 в Falconer, Kenneth J. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. — John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2003.

ЛитератураПравить

  • Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7.