Открыть главное меню

Распределе́ние (хи-квадра́т) с степеня́ми свобо́ды — это распределение суммы квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин.

Распределение . Распределение Пирсона
Chi-square distributionPDF.png Плотность вероятности
Chi-square distributionCDF.png Функция распределения
Обозначение или
Параметры — число степеней свободы
Носитель
Плотность вероятности
Функция распределения
Математическое ожидание
Медиана примерно
Мода если
Дисперсия
Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса
Дифференциальная энтропия

Производящая функция моментов , если
Характеристическая функция

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть   — совместно независимые стандартные нормальные случайные величины, то есть:  . Тогда случайная величина

 

имеет распределение хи-квадрат с   степенями свободы, то есть  , или, если записать по-другому:

 .

Распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения, и его плотность имеет вид:

 ,

где   означает гамма-распределение, а   — гамма-функцию.

Функция распределения имеет следующий вид:

 ,

где   и   обозначают соответственно полную и неполную гамма-функции.

Свойства распределения хи-квадратПравить

 .
  • Из определения легко получить моменты распределения хи-квадрат. Если  , то
 ,
 .
  • В силу центральной предельной теоремы, при большом числе степеней свободы распределение случайной величины   может быть приближено нормальным  . Более точно
  по распределению при  .

Связь с другими распределениямиПравить

  • Если   независимые нормальные случайные величины, то есть:   известно, то случайная величина
 

имеет распределение  .

 .
  • Если   и  , то случайная величина
 

имеет распределение Фишера со степенями свободы  .

Вариации и обобщениеПравить

Дальнейшим обобщением распределения хи-квадрат является так называемое нецентральное распределение хи-квадрат[en], возникающее в некоторых задачах статистики.

КвантилиПравить

Квантиль — это число (аргумент), на котором функция распределения равна заданной, требуемой вероятности. Грубо говоря, квантиль — это результат обращения функции распределения, но есть тонкости с разрывными функциями распределения.

ИсторияПравить

Критерий χ² был предложен Карлом Пирсоном в 1900 году.[1] Его работа рассматривается как фундамент современной математической статистики. Предшественники Пирсона просто строили графики экспериментальных результатов и утверждали, что они правильны. В своей статье Пирсон привёл несколько интересных примеров злоупотреблений статистикой. Он также доказал, что некоторые результаты наблюдений за рулеткой (на которой он проводил эксперименты в течение двух недель в Монте-Карло в 1892 году) были так далеки от ожидаемых частот, что шансы получить их снова при предположении, что рулетка устроена добросовестно, равны одному из 1029.

Общее обсуждение критерия χ² и обширную библиографию можно найти в обзорной работе Вильяма Дж. Кокрена.[2]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Karl Pearson. “On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling”. Philosophical Magazine, Series 5. 50 (302): 157—175. DOI:10.1080/14786440009463897.
  2. William G. Cochran (1952). “The χ2 Test of Goodness of Fit”. Annals Math. Stat. 23 (3): 315—345.