Открыть главное меню
График функции «пол» (целая часть числа)
График функции «потолок»

В математике, целая часть вещественного числа  — округление до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier), или пол (англ. floor). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling) — округление до ближайшего целого в большую сторону.

Обозначения и примерыПравить

Впервые квадратные скобки ( ) для обозначения целой части числа   использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности[1]. Это обозначение считалось стандартным[2], пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962 году, не предложил[3][4][5] округление числа   до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок»   и обозначать   и   соответственно.

В современной математике используются оба обозначения[6],   и  , однако существует тенденция перехода к терминологии и обозначениям Айверсона. Одна из причин этого — потенциальная неоднозначность понятия «целая часть числа»[5]. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но возможны два мнения на то, как определить целую часть числа −2,7. В соответствии с данным в этой статье определением  , однако в некоторых калькуляторах имеется функция целой части числа INT, для отрицательных чисел определяемая как INT(-x) = -INT(x), так что INT(-2,7) = −2. В терминологии Айверсона отсутствуют возможные неоднозначности:

 
См. также: Округление

ОпределенияПравить

Функция пол   определяется как наибольшее целое, меньшее или равное  :

 

Функция потолок   определяется как наименьшее целое, большее или равное  :

 

Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число):[7]

 

СвойстваПравить

В формулах, записанных ниже, буквами   и   обозначены вещественные числа, а буквами   и   — целые.

Пол и потолок как функции вещественной переменнойПравить

Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:

 

Пол и потолок — кусочно-постоянные функции.

Функции пол и потолок разрывны: во всех целочисленных точках терпят разрывы первого рода со скачком, равным единице.

При этом функция пол является:

Функция потолок является:

Связь функций пол и потолокПравить

Для произвольного числа   верно неравенство[8]

 

Для целого   пол и потолок совпадают:

 

Если   — не целое, то значение функции потолок на единицу больше значения функции пол:

 

Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:

 

Пол/потолок: неравенстваПравить

Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами [7]:

 

Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.

Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:

 

Пол/потолок: сложениеПравить

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка [9]:

 

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

 

Пол/потолок под знаком функцииПравить

Имеет место следующее предложение:[10]

Пусть   — непрерывная монотонно возрастающая функция, определенная на некотором промежутке, обладающая свойством:

 

Тогда

 

всякий раз, когда определены  .

В частности,

 

если   и   — целые числа, и  .

Пол/потолок: суммыПравить

Если   — целые числа,  , то [11]

 

Вообще, если   — произвольное вещественное число, а   — целое положительное, то

 

Имеет место более общее соотношение [12]:

 

Так как правая часть этого равенства симметрична относительно   и  , то справедлив следующий закон взаимности:

 

Разложимость в рядПравить

Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:

 

где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду

 

который расходится.

ПрименениеПравить

Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.

Количество цифр в записи числаПравить

Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно [13]

 

ОкруглениеПравить

Основная статья: Округление

Ближайшее к   целое число может быть определено по формуле

 

Бинарная операция modПравить

Основная статья: Остаток от деления

Операция «остаток по модулю», обозначаемая  , может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если   — произвольные вещественные числа, и  , то неполное частное от деления   на   равно

 ,

а остаток

 

Дробная частьПравить

Основная статья: Дробная часть

Дробная часть вещественного числа   по определению равна

 

Количество целых точек промежуткаПравить

Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами   и  , то есть количество целых чисел  , удовлетворяющий неравенству

 

В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно

 .

Это есть число точек в замкнутом промежутке с концами   и  , равное  .

Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков. Сводка результатов приведена ниже [14].

 
 
 
 

(Через   обозначена мощность множества  ).

Первые три результата справедливы при всех  , а четвёртый — только при  .

Теорема Рэлея о спектреПравить

Пусть   и   — положительные иррациональные числа, связанные соотношением [15]

 

Тогда в ряду чисел

 

каждое натуральное   встречается в точности один раз. Иными словами, последовательности

  и  ,

называемые последовательностями Бетти (англ.), образуют разбиение натурального ряда.[16]

В информатикеПравить

В языках программированияПравить

Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil().

В системах вёрсткиПравить

В TeXLaTeX) для символов пола/потолка  ,  ,  ,   существуют специальные команды: \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.

ПримечанияПравить

  1. Lemmermeyer, pp. 10, 23.
  2. Обозначение Гаусса использовали Cassels, Hardy & Wright и Ribenboim. Graham, Knuth & Patashnik и Crandall & Pomerance использовали обозначение Айверсона.
  3. Iverson, p. 12.
  4. Higham, p. 25.
  5. 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 88.
  6. Weisstein, Eric W. Floor Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  7. 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90.
  8. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 89.
  9. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90-91.
  10. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 93.
  11. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 108.
  12. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 112-117.
  13. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 91.
  14. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 95-96.
  15. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 99-100.
  16. А. Баабабов. «Пентиум» хорошо, а ум лучше // Квант. — 1999. — № 4. — С. 36-38.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
  • М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.